Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série infinita
converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries infinitas, mais especificamente os testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar um teste de convergência adequado, como o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série infinita
converge se a soma dos termos se aproxima de um número finito quando adicionamos infinitos termos. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para verificar a convergência dessa série. O Teste da Raiz diz que para a série
, se
:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular
para a nossa série:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce sem limites quando
aumenta, ou seja,
. Portanto,
Passo 6
De acordo com o Teste da Raiz, se o limite
é menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso,
, então podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge.