Determine se a série converge ou diverge
sumn=1^infty 1[ln (n+2)]^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série infinita sumn=1^infty 1[ln(n+2)]^n converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries infinitas, mais especificamente os testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar um teste de convergência adequado, como o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série infinita sum an converge se a soma dos termos se aproxima de um número finito quando adicionamos infinitos termos. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz para verificar a convergência dessa série. O Teste da Raiz diz que para a série sum an, se limn to infty raiz[n]|an| = L:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular raiz[n]an para a nossa série:
an = 1[ln(n+2)]^n
Então,
raiz[n]an = raiz[n]1[ln(n+2)]^n = 1ln(n+2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 1ln(n+2)
Sabemos que ln(n+2) cresce sem limites quando n aumenta, ou seja, ln(n+2) to infty. Portanto,
limn to infty 1ln(n+2) = 0

Passo 6

De acordo com o Teste da Raiz, se o limite L é menor que 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 0 < 1, então podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1[ln(n+2)]^n converge.

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