Use o critério da integral para determinar se a série
converge ou diverge
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que usar o critério da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos lembrar do que é o critério da integral e que tipo de funções precisamos analisar.
Passo 2
O critério da integral nos diz que, para uma série
com
, se a função
for positiva, contínua e decrescente para
(algum número natural
), então a série converge se e somente se a integral
converge.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar a função
correspondente aos termos da série:
Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para
grande o suficiente.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador. Note que para
grande,
, portanto, temos que o integrando se comporta como
, cuja integral converge (pois
converge se
).
Por isso, concluímos que a integral converge.
Resposta
A série
converge pelo critério da integral.