Use o critério da integral para determinar se a série sum1^infty 2 n+1(n^2+3 n)^2 converge ou diverge

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que usar o critério da integral para determinar se a série sumn=1^infty 2n + 1(n^2 + 3n)^2 converge ou diverge. Para isso, vamos lembrar do que é o critério da integral e que tipo de funções precisamos analisar.

Passo 2

O critério da integral nos diz que, para uma série sumn=1^infty an com an = f(n), se a função f(x) for positiva, contínua e decrescente para x >= N (algum número natural N), então a série converge se e somente se a integral integralN^infty f(x) , dx converge.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar a função f(x) correspondente aos termos da série:
f(x) = 2x + 1(x^2 + 3x)^2
Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para x grande o suficiente.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral1^infty 2x + 1(x^2 + 3x)^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos simplificar o denominador. Note que para x grande, x^2 + 3x approx x^2, portanto, temos que o integrando se comporta como 2xx^4 = 2x^3, cuja integral converge (pois integral1^infty 1x^p , dx converge se p > 1).
Por isso, concluímos que a integral converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2n + 1(n^2 + 3n)^2 converge pelo critério da integral.

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