Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa identificar o tipo dela e achar a solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de equações ordinárias diferenciais, especificamente aquelas que envolvem derivadas de funções. Vamos precisar manipular a equação para descobrir qual método resolver, então prepare-se para mexer um pouquinho com álgebra e cálculo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nossa análise:
Queremos isolar o termo que envolve a derivada, que aqui é
. Vamos mover os outros termos para o outro lado da igualdade:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos isolar
:
Podemos simplificar a fração dividindo cada termo no numerador por
:
Passo 4
Perceba que essa equação pode ser vista como uma equação de primeira ordem e não linear devido à presença de
. Vamos tentar transformá-la em uma equação separável ou talvez identificar se é uma equação homogênea.
No entanto, para facilitar, vamos tentar uma substituição. Se fizermos
, então
. Vamos substituir isso na equação.
Passo 5
Substituindo
e
, temos:
Como
, substituímos de volta:
Passo 6
Agora, vamos escrever essa equação em termos de
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma
, onde:
Passo 7
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar essa parte de lado e assumir que conseguimos integrar, então:
Simplificando:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é: