Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
a y^2+b-x^2 y y^prime=0
a, b in R, a neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que precisa identificar o tipo dela e achar a solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de equações ordinárias diferenciais, especificamente aquelas que envolvem derivadas de funções. Vamos precisar manipular a equação para descobrir qual método resolver, então prepare-se para mexer um pouquinho com álgebra e cálculo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar nossa análise:
a y^2 + b - x^2 y y' = 0
Queremos isolar o termo que envolve a derivada, que aqui é y'. Vamos mover os outros termos para o outro lado da igualdade:
- x^2 y y' = -a y^2 - b
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
x^2 y y' = a y^2 + b

Passo 3

Agora, vamos isolar y':
y' = a y^2 + bx^2 y
Podemos simplificar a fração dividindo cada termo no numerador por x^2 y:
y' = a y^2x^2 y + bx^2 y = a yx^2 + bx^2 y

Passo 4

Perceba que essa equação pode ser vista como uma equação de primeira ordem e não linear devido à presença de y^2. Vamos tentar transformá-la em uma equação separável ou talvez identificar se é uma equação homogênea.
No entanto, para facilitar, vamos tentar uma substituição. Se fizermos v = y^2, então v' = 2y y'. Vamos substituir isso na equação.

Passo 5

Substituindo v = y^2 e v' = 2y y', temos:
v' = 2y y' = 2y ( a yx^2 + bx^2 y ) = 2a y^2x^2 + 2bx^2
Como v = y^2, substituímos de volta:
v' = 2a vx^2 + 2bx^2

Passo 6

Agora, vamos escrever essa equação em termos de v:
v' - 2ax^2 v = 2bx^2
Essa é uma equação linear de primeira ordem na forma v' + P(x)v = Q(x), onde:
P(x) = -2ax^2 e Q(x) = 2bx^2

Passo 7

Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -2ax^2 dx = e^2ax

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^2ax v' - 2ax^2 e^2ax v = 2bx^2 e^2ax
Isso simplifica para:
ddx ( e^2ax v ) = 2bx^2 e^2ax

Passo 9

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^2ax v ) dx = integral 2bx^2 e^2ax dx
Isso resulta em:
e^2ax v = integral 2bx^2 e^2ax dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar essa parte de lado e assumir que conseguimos integrar, então:
e^2ax v = -2b2a e^2ax + C
Simplificando:
v = -ba + C e^-2ax

Passo 11

Lembrando que v = y^2, substituímos de volta:
y^2 = -ba + C e^-2ax
Finalmente, isolamos y:
y = raiz -ba + C e^-2ax

Resposta

A solução geral da equação é:
y = raiz -ba + C e^-2ax

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