Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z) é o ramo principal
z^-1-2 i=exp [(-1-2 i) log z] (|z|>0,-pi<Arg z<pi)
da função potência dada, e C é o caminho definido por
z=e^i theta (0 <= theta <= pi2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o ramo principal de (isto é, ), e é o arco da circunferência unidade dado por
Para resolver, vamos usar a parametrização de , expressar em termos de , calcular usando e então integrar em .

Passo 2

Parametrizamos
z(theta)=e^itheta, 0<=theta<=pi2,
então
dz=ddthetae^itheta,dtheta=i,e^itheta,dtheta

Passo 3

No ramo principal, para 0<=theta<=pi2 temos log z=itheta. Logo
fl(z(theta)r) =expl[(-1-2i),ithetar] =expl(-itheta+2thetar) =e^-itheta,e^2theta

Passo 4

O integrando fica
f(z(theta)),dz =e^-ithetae^2theta,l(i,e^itheta,dthetar) =i,e^2theta,e^-itheta+itheta,dtheta =i,e^2theta,dtheta

Passo 5

Integramos de theta=0 até theta=pi2:
integralCf(z),dz =integral0^pi/2i,e^2theta,dtheta =iintegral0^pi/2e^2theta,dtheta =il[12e^2thetar]0^pi/2 =i2l(e^pi-1r)

Resposta

integralCz^-1-2i,dz =i2l(e^pi-1r)

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