Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de
ou dos arcos de
para calcular
e
é o semicírculo
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a integral de uma função complexa
ao longo de uma curva
, que aqui é um semicírculo definido por
com
. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de integrais de contorno no plano complexo, especialmente usando representações paramétricas das curvas. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, substituir na integral e calcular o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Dado que
é um semicírculo definido por
onde
varia de
a
, isso significa que estamos percorrendo a parte inferior de um círculo de raio 2 no plano complexo.
Passo 3
Com a parametrização
, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para obter
. Calculando:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Distribuindo o
:
Resposta
A integral vale
.