Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z)=(z+2) / z e C é o semicírculo z=2 e^i theta(pi <= theta <= 2 pi);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a integral de uma função complexa f(z) = z + 2z ao longo de uma curva C , que aqui é um semicírculo definido por z = 2 e^itheta com pi <= theta <= 2pi . O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de integrais de contorno no plano complexo, especialmente usando representações paramétricas das curvas. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C , substituir na integral e calcular o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C . Dado que C é um semicírculo definido por z = 2 e^itheta onde theta varia de pi a 2pi , isso significa que estamos percorrendo a parte inferior de um círculo de raio 2 no plano complexo.

Passo 3

Com a parametrização z(theta) = 2 e^itheta , precisamos encontrar a derivada de z em relação a theta para obter dz . Calculando:
dzdtheta = 2 i e^itheta
Então, dz = 2 i e^itheta dtheta .

Passo 4

Agora, substituímos f(z) e dz na integral original:
integralC z + 2z dz = integralpi^2pi 2 e^itheta + 22 e^itheta cdot 2 i e^itheta dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2 e^itheta + 22 e^itheta = 2 (e^itheta + 1)2 e^itheta = e^itheta + 1e^itheta = 1 + 1e^itheta = 1 + e^-itheta
Substituindo de volta na integral:
integralpi^2pi (1 + e^-itheta) cdot 2 i e^itheta dtheta = 2i integralpi^2pi (e^itheta + 1) dtheta

Passo 6

Agora, vamos separar a integral:
2i ( integralpi^2pi e^itheta dtheta + integralpi^2pi 1 , dtheta )
Calculando cada parte:
  1. integral e^itheta dtheta = e^ithetai
  2. integral 1 , dtheta = theta
Aplicando os limites de integração:
2i ( [ e^ithetai ]pi^2pi + [ theta ]pi^2pi ) = 2i ( e^i2pi - e^ipii + (2pi - pi) )
Sabemos que e^i2pi = 1 e e^ipi = -1 , então:
2i ( 1 - (-1)i + pi ) = 2i ( 2i + pi ) = 2i ( -2i + pi )
Distribuindo o 2i :
2i cdot (-2i) + 2i cdot pi = 4 + 2ipi

Resposta

A integral vale 4 + 2ipi .

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