Use a Regra de L’Hospital para Calcular os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de cálculo que pede para usar a Regra de L’Hospital para calcular o limite:
O que precisamos saber para resolver isso?
- Regra de L’Hospital: Uma ferramenta que ajuda a calcular limites que resultam em formas indeterminadas como
ou . - Funções trigonométricas: Vamos usar propriedades de funções como
, e . - Derivadas: Precisamos derivar o numerador e o denominador para aplicar a regra.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar o limite diretamente substituindo
na expressão para ver se temos uma forma indeterminada.
Calculando o numerador:
Sabemos que:
Portanto,
E,
Então, o numerador fica:
Agora, o denominador:
Então, substituindo, temos:
Isso indica que o limite tende ao infinito ou menos infinito, mas não é uma forma indeterminada do tipo
ou
. Portanto, a Regra de L’Hospital não é aplicável aqui.
Passo 3
Como a Regra de L’Hospital não se aplica, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de
.
Sabemos que:
- O numerador se aproxima de 1.
- O denominador se aproxima de 0.
Mas precisamos saber o sinal do denominador próximo a
para determinar se o limite tende a
ou
.
Vamos considerar valores ligeiramente menores e maiores que
:
- Para
ligeiramente menor que :
Então,
será um número positivo pequeno.
- Para
ligeiramente maior que :
Novamente,
será um número positivo pequeno.
Portanto, em ambos os lados, o denominador se aproxima de 0 de forma positiva, e o numerador se aproxima de 1.
Passo 4
Como o denominador se aproxima de 0 de forma positiva e o numerador se aproxima de 1, o quociente tende a
.