Use a Regra de L’Hospital para Calcular os seguintes limites:
lim x pi4 sec ^2 x-tg x1+cos 4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de cálculo que pede para usar a Regra de L’Hospital para calcular o limite:
lim x pi4 sec ^2 x - tan x1 + cos 4x
O que precisamos saber para resolver isso?
  • Regra de L’Hospital: Uma ferramenta que ajuda a calcular limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty.
  • Funções trigonométricas: Vamos usar propriedades de funções como sec x, tan x e cos 4x.
  • Derivadas: Precisamos derivar o numerador e o denominador para aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o limite diretamente substituindo x = pi4 na expressão para ver se temos uma forma indeterminada.
Calculando o numerador:
sec^2(pi4) - tan(pi4)
Sabemos que:
sec(pi4) = 1cos(pi4) = raiz2
Portanto,
sec^2(pi4) = (raiz2)^2 = 2
E,
tan(pi4) = 1
Então, o numerador fica:
2 - 1 = 1
Agora, o denominador:
1 + cos(4 cdot pi4) = 1 + cos(pi) = 1 + (-1) = 0
Então, substituindo, temos:
10
Isso indica que o limite tende ao infinito ou menos infinito, mas não é uma forma indeterminada do tipo 00 ou inftyinfty. Portanto, a Regra de L’Hospital não é aplicável aqui.

Passo 3

Como a Regra de L’Hospital não se aplica, vamos analisar o comportamento da função conforme x se aproxima de pi4.
Sabemos que:
  • O numerador se aproxima de 1.
  • O denominador se aproxima de 0.
Mas precisamos saber o sinal do denominador próximo a x = pi4 para determinar se o limite tende a +infty ou -infty.
Vamos considerar valores ligeiramente menores e maiores que pi4:
  • Para x ligeiramente menor que pi4:
4x será li>=iramente menor que pi á
cos(4x) será próximo a -1, mas um pouco maior que -1 áó
Então, 1 + cos(4x) será um número positivo pequeno.
  • Para x ligeiramente maior que pi4:
4x será li>=iramente maior que pi á
cos(4x) será próximo a -1, mas um pouco maior que -1 áó
Novamente, 1 + cos(4x) será um número positivo pequeno.
Portanto, em ambos os lados, o denominador se aproxima de 0 de forma positiva, e o numerador se aproxima de 1.

Passo 4

Como o denominador se aproxima de 0 de forma positiva e o numerador se aproxima de 1, o quociente tende a +infty.

Resposta

lim x pi4 sec ^2 x - tan x1 + cos 4x = +infty

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