Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais dadas.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear com coeficientes constantes. A equação dada é:
y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^2 t
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Isso envolve duas partes: resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' - 2 y' - 3 y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo y por e^r t :
r^2 - 2 r - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 2 r - 3 = 0
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1
r = 2 pm raiz4 + 122
r = 2 pm raiz162
r = 2 pm 42
Então, as raízes são:
r1 = 3 e r2 = -1

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^3 t + C2 e^- t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a equação completa:
y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^2 t
Como o lado direito é 3 e^2 t , vamos chutar uma solução na forma:
yp = A e^2 t
Onde A é um coeficiente que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp :
yp' = 2 A e^2 t
yp'' = 4 A e^2 t

Passo 7

Substituindo yp , yp' e yp'' na equação diferencial:
4 A e^2 t - 2 cdot 2 A e^2 t - 3 A e^2 t = 3 e^2 t
4 A e^2 t - 4 A e^2 t - 3 A e^2 t = 3 e^2 t
(-3 A) e^2 t = 3 e^2 t

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes:
-3 A = 3
A = -1
Então, a solução particular é:
yp = - e^2 t

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp
y = C1 e^3 t + C2 e^- t - e^2 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^3 t + C2 e^- t - e^2 t

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