Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear com coeficientes constantes. A equação dada é:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Isso envolve duas partes: resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos chutar uma solução na forma:
Onde
é um coeficiente que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: