Em cada um dos ítens abaixo marque v para verdaeiro e f para falso, justifique sua resposta.
Um sistema linear de ordem m times n, com m<n, sempre é possível e indeterminado ( )

Passo 1

O enunciado afirma que “um sistema linear de ordem mtimes n, com m<n, sempre é possível e indeterminado”. Aqui estamos em Álgebra Linear, mais precisamente em teoria de sistemas lineares, onde usamos as noções de posto da matriz dos coeficientes e situação de consistência (possível ou impossível) e de indeterminação (infinitas soluções).

Passo 2

Pela teoria de sistemas lineares, seja a matriz e o vetor de termos independentes. Denotamos por o posto de e por o posto da matriz aumentada. O sistema é
– possível (consistente) se, e somente se,
– impossível (inconsistente) se
Quando o sistema é possível, o número de variáveis livres é
Como , temos . Logo, se consistente, haverá pelo menos uma variável livre e consequentemente infinitas soluções (indeterminado).

Passo 3

No entanto, a consistência não depende apenas de
Aqui são iguais) mas (os termos independentes são diferentes). Logo e o sistema é impossível. Portanto nem todo sistema com é possível.

Resposta

F (falso): um sistema com m<n pode ser inconsistente, logo não é “sempre possível e indeterminado”.

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