Em cada um dos ítens abaixo marque v para verdaeiro e f para falso, justifique sua resposta.
Um sistema linear de ordem
, com
, sempre é possível e indeterminado ( )
Um sistema linear de ordem
Passo 1
O enunciado afirma que “um sistema linear de ordem
, com
, sempre é possível e indeterminado”. Aqui estamos em Álgebra Linear, mais precisamente em teoria de sistemas lineares, onde usamos as noções de posto da matriz dos coeficientes e situação de consistência (possível ou impossível) e de indeterminação (infinitas soluções).
Passo 2
Pela teoria de sistemas lineares, seja
a matriz
e
o vetor de termos independentes. Denotamos por o posto de
e por o posto da matriz aumentada. O sistema é
– possível (consistente) se, e somente se,
– possível (consistente) se, e somente se,
– impossível (inconsistente) se
Quando o sistema é possível, o número de variáveis livres é
Como , temos . Logo, se consistente, haverá pelo menos uma variável livre e consequentemente infinitas soluções (indeterminado).
Passo 3
No entanto, a consistência não depende apenas de
Aqui são iguais) mas (os termos independentes são diferentes). Logo e o sistema é impossível. Portanto nem todo sistema com
é possível.
Resposta
F (falso): um sistema com
pode ser inconsistente, logo não é “sempre possível e indeterminado”.