Considere a matriz
tal que
, com
e sendo
a matriz identidade de ordem 3 , determine as entradas da matriz
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
com
e pede a soma
onde
. O conteúdo é soma de série geométrica de matrizes e vamos usar o polinômio mínimo de
para expressar potências altas em termos de
e
.
Passo 2
Vamos achar o polinômio mínimo de
. Note que
onde
É fácil ver que
é matriz antissimétrica real de ordem ímpar, logo tem autovalores
. Podemos calcular
via .
Passo 3
Calculamos
de onde
logo
-2mu^2=-12impliesmu^2=6 . Assim o polinômio mínimo é
i.e.\
Passo 4
Da relação
M^3=-6M segue por indução
para todo
n>=1 . Logo, ao somar
separamos em termos ímpares e pares. Como
2024=2cdot1012 , obtemos
Defina
alpha=sumk=0^1011(-6)^k . Então
com
Passo 5
Precisamos das entradas de
M e
M^2 . Já temos
Mij=j-i . Para
M^2 fizemos
Logo, chamando
verifica-se que
mas já unimos tudo em
Dij ao montar
A .
Passo 6
Finalmente, cada entrada de
A é
onde
de<aij=1 se
i=j e
0 caso contrário, e
Em forma de matriz, definindo
alpha=(1-6^1012)/7 ,
Resposta
Cada entrada de
A é
ou explicitamente