Considere a matriz M=(mi j)3 times 3 tal que mi j=j-i, com i, j=1,2,3 e sendo I=I3 a matriz identidade de ordem 3 , determine as entradas da matriz
A=I+M+M^2+M^3+cdots+M^2024

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz M=(mij)3times3 com
mij=j-i, i,j=1,2,3
e pede a soma
A = I + M + M^2 + M^3 + cdots + M^2024,
onde I=I3. O conteúdo é soma de série geométrica de matrizes e vamos usar o polinômio mínimo de M para expressar potências altas em termos de M e M^2.

Passo 2

Vamos achar o polinômio mínimo de . Note que
onde
É fácil ver que é matriz antissimétrica real de ordem ímpar, logo tem autovalores . Podemos calcular via .

Passo 3

Calculamos
M^2 = (b,a^T - a,b^T)^2 =6,b,a^T +6,a,b^T ;-;14,b,b^T ;-;3,a,a^T,
de onde
tr(M^2)=36+36-42-42=-12,
logo -2mu^2=-12impliesmu^2=6. Assim o polinômio mínimo é
x,(x^2+6)=0,
i.e.\
M^3 +6,M = 0 Longrightarrow M^3 = -6,M

Passo 4

Da relação M^3=-6M segue por indução
M^2n+1=(-6)^n,M, M^2n=(-6)^,n-1M^2,
para todo n>=1. Logo, ao somar
S = I + sumk=1^2024 M^k
separamos em termos ímpares e pares. Como 2024=2cdot1012, obtemos
sumk=0^1011M^2k+1 =l(sumk=0^1011(-6)^kr)M, sumk=1^1012M^2k =l(sumk=0^1011(-6)^kr)M^2
Defina alpha=sumk=0^1011(-6)^k. Então
A = I + alpha,M + alpha,M^2,
com
alpha = 1-(-6)^10121-(-6) = 1-6^10127

Passo 5

Precisamos das entradas de M e M^2. Já temos Mij=j-i. Para M^2 fizemos
M^2ij =6,(i+j);-;3,ij;-;14 =-3,i,j ;+;6i ;+;6j;-;14
Logo, chamando
Dij=-3,i,j +5,i +7,j -14,
verifica-se que
(i);Mij=j-i, (ii);M^2ij=Dij + (j-i),
mas já unimos tudo em Dij ao montar A.

Passo 6

Finalmente, cada entrada de A é
Aij =de<aij ;+;alphal(-3,i,j +5,i +7,j -14r),
onde de<aij=1 se i=j e 0 caso contrário, e
alpha = 1-6^10127
Em forma de matriz, definindo alpha=(1-6^1012)/7,
A = 1-5alpha & -alpha & 3alpha -3alpha &1-2alpha&-alpha -alpha &-3alpha &1-5alpha

Resposta

Cada entrada de A é
Aij =de<aij +1-6^10127,l(-3,i,j+5,i+7,j-14r),
ou explicitamente
A = 1-tfrac5(1-6^1012)7 & -tfrac1-6^10127 & tfrac3(1-6^1012)7[6pt] -tfrac3(1-6^1012)7 &1-tfrac2(1-6^1012)7&-tfrac1-6^10127[6pt] -tfrac1-6^10127 &-tfrac3(1-6^1012)7 &1-tfrac5(1-6^1012)7 ]

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