Calcule o determinante da matriz A=(ay y)n times m onde
ai j=l 0, se i=j 1, se i neq j

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz
Queremos calcular .

Passo 2

Note que podemos escrever A como
A = J - I,
onde J é a matriz ntimes n com todas as entradas iguais a 1 e I é a matriz identidade de ordem n. Essa decomposição é útil porque J é uma matriz de posto 1 com autovalores conhecidos.

Passo 3

Para a matriz J, temos o seguinte:
  1. O vetor v=(1,1,dots,1)^T satisfaz
J,v = n,v,
logo n é um autovalor de J com multiplicidade (geometricamente) igual a 1.
2. Qualquer vetor ortogonal a v é levado a zero por J, então 0 é autovalor de J de multiplicidade n-1.

Passo 4

Como A = J - I, cada autovalor lambdaJ de J gera um autovalor lambdaA = lambdaJ - 1 de A. Assim:
autovalores de A n - 1, &mu<iplicidade 1, 0 - 1 = -1, &mu<iplicidade n-1

Passo 5

O determinante de A é o produto de todos os seus autovalores. Logo,
det(A) = (n-1)times(-1)^,n-1

Resposta

det(A) = (-1)^,n-1,(n-1)

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