Em cada um dos ítens abaixo marque v para verdaeiro e f para falso, justifique sua resposta.
A soma e o produto de matrizes simétricas sempre resulta em uma matriz simétrica ( )

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas operações entre matrizes simétricas—soma e produto—e decidir se o resultado é sempre uma matriz simétrica. Para isso, vamos usar propriedades de transposição de matrizes.

Passo 2

Considere duas matrizes simétricas A e B. Para a soma usamos a propriedade
(A+B)^T = A^T + B^T
Como A^T = A e B^T = B, segue
(A+B)^T = A + B,
logo A+B é simétrica.

Passo 3

Para o produto usamos
(AB)^T = B^T A^T
Como A^T = A e B^T = B, obtemos (AB)^T = BA. Geralmente BA neq AB, então AB não precisa ser simétrica. Por exemplo, tome
A = 0 & 11 & 0, B = 1 & 22 & 3
Ambas são simétricas, mas
AB = 2 & 31 & 4, (AB)^T = 2 & 13 & 4neq AB,
logo AB não é simétrica.

Resposta

Soma de matrizes simétricas: V
Produto de matrizes simétricas: F

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