Em cada um dos itens abaixo, a matriz de coeficientes contém um parâmetro alpha. Determine os autovalores em função de alpha e encontre o(s) valor(es) crítico(s) alphac (a) x^prime=(ccalpha & 1 -1 & alpha) x Res: r+,-=alpha pm i.
(b) x^prime=(cc0 & -5 1 & alpha) x Res: r pm=alpha2 pm 12 raizalpha^2-20.
(c) x^prime=(ccalpha & 10 -1 & -4) x Res: r pm=-2+alpha2 pm 12 raizalpha^2+8 alpha-24.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de autovalores de matrizes que têm um parâmetro alpha. Precisamos encontrar os autovalores em função de alpha e descobrir quais valores de alpha tornam a matriz crítica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre como encontrar autovalores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, lembramos que os autovalores de uma matriz A são valores de r que satisfazem a equação característica det(A - rI) = 0, onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos resolver cada item separadamente.

Item (a)

A matriz dada é:
A = alpha & 1 -1 & alpha

Passo 4

Calculamos a equação característica:
det( alpha - r & 1 -1 & alpha - r ) = 0

Passo 5

Isso dá:
(alpha - r)(alpha - r) - (-1)(1) = 0 (alpha - r)^2 + 1 = 0

Passo 6

Resolvendo para r:
(alpha - r)^2 = -1 alpha - r = pm i r = alpha pm i

Passo 7

Portanto, os autovalores são:
rpm = alpha pm i

Passo 8

Agora, vamos para o item (b). A matriz é:
A = 0 & -5 1 & alpha

Passo 9

Calculamos a equação característica:
det( -r & -5 1 & alpha - r ) = 0

Passo 10

Isso resulta em:
(-r)(alpha - r) - (-5)(1) = 0 r^2 - alpha r + 5 = 0

Passo 11

Resolvemos a equação quadrática:
r = alpha pm raizalpha^2 - 202

Passo 12

Finalmente, vamos ao item (c). A matriz é:
A = alpha & 10 -1 & -4

Passo 13

Calculamos a equação característica:
det( alpha - r & 10 -1 & -4 - r ) = 0

Passo 14

Isso dá:
(alpha - r)(-4 - r) - (-1)(10) = 0 -(alpha - r)(4 + r) + 10 = 0 -r^2 + (alpha - 4)r - 4alpha + 10 = 0

Passo 15

Reorganizando:
r^2 - (alpha - 4)r + 4alpha - 10 = 0

Passo 16

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = (alpha - 4) pm raiz(alpha - 4)^2 - 4 cdot 1 cdot (4alpha - 10)2 r = alpha - 4 pm raizalpha^2 - 8alpha + 16 - 16alpha + 402 r = alpha - 4 pm raizalpha^2 - 24alpha + 562

Passo 17

Simplificando a raiz:
raizalpha^2 - 24alpha + 56 = raizalpha^2 + 8alpha - 24

Resposta

Para o item (c), os autovalores são rpm = -2 + alpha2 pm 12 raizalpha^2 + 8alpha - 24.

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