Calcule a integral.
integral 22 x^2+3 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 22x^2+3x+1,dx
O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais, que vai permitir reescrever o integrando como soma de termos do tipo tfrac1ax+b, cada um fácil de integrar por substituição simples.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador quadrático:
2x^2+3x+1 = (2x+1)(x+1)
Em seguida, escrevemos a fração como soma de termos simples:
2(2x+1)(x+1) = A2x+1 + Bx+1

Passo 3

Multiplicando por (2x+1)(x+1) obtemos
2 = A(x+1) + B(2x+1)
Para encontrar A e B, avaliamos em valores convenientes:
quando x=-1,
2 = B(-2+1) = -B ;Longrightarrow; B = -2;
quando x=-tfrac12,
2 = Al(-tfrac12+1r) = Acdot tfrac12 ;Longrightarrow; A = 4
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2(2x+1)(x+1) = 42x+1 - 2x+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral 42x+1,dx = 4cdot 12lnl|2x+1r| = 2lnl|2x+1r|
e
integral -2x+1,dx = -2lnl|x+1r|

Passo 5

Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral 22x^2+3x+1,dx = 2lnl|2x+1r| - 2lnl|x+1r| + C
Opcionalmente, pode-se combinar os logaritmos:
2ln!gl|2x+1x+1gr| + C

Resposta

boxed,2lnl|2x+1r| ;-;2lnl|x+1r| + C,

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