Considere os vetores e , e faça o que se pede:
(a) Calcule o wronskiano de e . Res:
(b) Em que intervalos e são linearmente independentes? Res:
(c) Que conclusão pode-se tirar sobre os coeficientes no sistema homogêneo de equações diferenciais satisfeito por e ?
(d) Encontre esse sistema de equações e verifique as conclusões do item anterior. Res:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores função:
x^(1)(t) = t 1 e x^(2)(t) = t^2 2t
Os itens a serem resolvidos envolvem calcular o wronskiano desses vetores, verificar a independência linear deles em certos intervalos e relacionar isso a sistemas de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como wronskiano, independência linear e sistemas de equações diferenciais lineares homogêneos.
Passo 2
Item (a): Calcular o wronskiano de x^(1) e x^(2) .
O wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para dois vetores função x^(1)(t) e x^(2)(t) , o wronskiano W é dado pelo determinante da matriz formada pelas suas componentes e suas derivadas:
W = det x^(1)(t) & x^(2)(t) ddtx^(1)(t) & ddtx^(2)(t)
Vamos calcular as derivadas:
ddtx^(1)(t) = 1 0
ddtx^(2)(t) = 2t 2
Agora, montamos a matriz:
t & t^2 1 & 2t 1 & 2
Como estamos lidando com vetores em R^2 , consideramos apenas as primeiras duas linhas para o determinante:
W = det t & t^2 1 & 2t
Calculando o determinante:
W = t cdot 2t - t^2 cdot 1 = 2t^2 - t^2 = t^2
Passo 3
Item (b): Determinar os intervalos em que x^(1) e x^(2) são linearmente independentes.
A independência linear das soluções está relacionada ao wronskiano. Se o wronskiano W(t) for diferente de zero em algum intervalo, as soluções são linearmente independentes nesse intervalo.
Do item (a), vimos que:
W = t^2
Para que W neq 0 :
t^2 neq 0 implies t neq 0
Portanto, os vetores são linearmente independentes para todos t exceto em t = 0 . Isso nos dá os intervalos:
D = (-infty, 0) cup (0, infty)
Passo 4
Item (c): Conclusão sobre os coeficientes no sistema homogêneo de equações diferenciais satisfeito por x^(1) e x^(2) .
Quando temos soluções linearmente independentes para um sistema homogêneo de equações diferenciais, isso implica que podemos expressar o sistema na forma:
X' = A(t) X
Onde A(t) é uma matriz de coeficientes. A linearidade e independência das soluções indicam que os coeficientes da matriz A(t) dependem de t e estão relacionados ao wronskiano.
A conclusão é que os coeficientes do sistema homogêneo não são constantes e dependem de t .
Passo 5
Item (d): Encontrar o sistema de equações e verificar as conclusões do item anterior.
Vamos encontrar a matriz [A(t)) tal que:
Sabemos que:
E as soluções são e :
Queremos encontrar tal que:
Calculando as derivadas:
Montamos o sistema:
Resolvendo as equações para os coeficientes (a_{ij}], obtemos:
Isso confirma que os coeficientes dependem de , conforme concluído no item anterior.
Resposta
(a) W = t^2
(b) Os vetores são linearmente independentes para D = (-infty, 0) cup (0, infty)
(c) Os coeficientes do sistema homogêneo dependem de t