Para os sistemas de equações lineares de primeira ordem, determine a solução geral como combinação de funções reais. A seguir, desenhe o campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando . (Sugestão: use um computador para obter os campos de direção)
(a) Res: x=c1binom11 e^-t+c2binom23 e^-2 t.
(b) x^prime=(cc1 & 1 4 & -2) x Res: x=c1binom11 e^2 t+c2binom1-4 e^-3 t.
(c) x^prime=(cc-1 & -4 -1 & -1) x Res: x=c1binom-2 sin 2 tcos 2 t e^-t+c2binom2 cos 2 tsin 2 t e^-t.
(d) x^prime=(rr2 & -5 1 & -2) x Res: x=c1binom5 cos t2 cos t+sin t+c2binom5 sin t-cos t+2 sin t.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado da questão. Temos um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem representado por uma matriz. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema como uma combinação de funções reais. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz associada ao sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
A = 1 & -2 3 & -4
Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores (lambda) resolvendo o determinante det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade.
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = -1:
(A - (-1)I)x = 0 2 & -2 3 & -3 x1 x2 = 0 0
Isso nos dá a equação 2x1 - 2x2 = 0 ou x1 = x2. Podemos escolher x1 = 1, então o autovetor é 1 1.
Para lambda2 = -2:
(A - (-2)I)x = 0 3 & -2 3 & -2 x1 x2 = 0 0
Isso nos dá a equação 3x1 - 2x2 = 0 ou x1 = 23x2. Podemos escolher x2 = 3, então o autovetor é 2 3.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores encontrados, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
x(t) = c1 1 1 e^-t + c2 2 3 e^-2t
onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos resolver o segundo sistema de equações diferenciais fornecido. Assim como no item anterior, determinaremos a solução geral do sistema por meio de autovalores e autovetores.
Passo 8
Identificamos a matriz do sistema:
A = 1 & 1 4 & -2
Nosso objetivo é encontrar os autovalores resolvendo det(A - lambda I) = 0.
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para lambda1 = 2:
(A - 2I)x = 0 -1 & 1 4 & -4 x1 x2 = 0 0
Isso nos dá a equação -x1 + x2 = 0 ou x1 = x2. Escolhendo x1 = 1, o autovetor é 1 1.
Para lambda2 = -3:
(A - (-3)I)x = 0 4 & 1 4 & 1 x1 x2 = 0 0
Isso nos dá a equação 4x1 + x2 = 0 ou x2 = -4x1. Escolhendo x1 =1, o autovetor é 1 -4.
Passo 12
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é:
x(t) = c1 1 1 e^2t + c2 1 -4 e^-3t
onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 13
Vamos para o terceiro sistema. Como antes, buscamos a solução geral usando autovalores e autovetores, mas dessa vez, os autovalores podem ser complexos, o que resultará em soluções oscilatórias.
Passo 14
Identificamos a matriz do sistema:
A = -1 & -4 -1 & -1
Calculamos os autovalores resolvendo det(A - lambda I) = 0.