Em cada um dos itens abaixo mostre diretamente que as funções dadas são linearmente dependentes na reta real. Isto é, encontre uma combinação linear não trivial das funções dadas que se anula identicamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções f(x)=2x, g(x)=3x² e h(x)=5x−8x² são linearmente dependentes na reta real. O conteúdo aqui é Dependência Linear em espaços de funções e vamos precisar encontrar coeficientes não todos nulos cuja combinação linear se anule identicamente.
Passo 2
Consideramos a combinação linear
. Substituindo as funções, temos:
Passo 3
Agora coletamos termos semelhantes em x e x² e impomos que cada coeficiente seja zero:
Isto gera o sistema de equações para os coeficientes:
Passo 4
Para obter uma solução não trivial, podemos escolher
. Da primeira equação vem
e da segunda
. Assim,
,
,
. Portanto, a combinação não trivial que se anula identicamente é
.