Se f(t) é uma função contínua para 0 <= t, a transformada de Laplace de f é a função F definida como
F(s)=integral0^infty f(t) e^-s t d t
O domínio da função F será o conjunto de todos os números s tais que a integral converge. Determine a transformada de Laplace das seguintes funções
(d) f(t)=t^2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^2, isto é,
F(s)=integral0^inftyt^2e^-st,dt,
e devemos determinar para quais s essa integral converge.

Passo 2

Para avaliar integral0^inftyt^2e^-st,dt vamos usar o método de integração por partes. Definimos
u = t^2, dv = e^-st,dt,
então
du = 2t,dt, v = integral e^-st,dt = -1se^-st
A fórmula de partes dá
integral0^inftyt^2e^-st,dt =l[-t^2se^-str]0^infty +integral0^infty2tse^-st,dt
Para Re(s)>0 o termo lt^2e^-str|ttoinfty tende a zero, e em t=0 também é zero. Logo sobra
integral0^inftyt^2e^-st,dt =2sintegral0^inftyt,e^-st,dt

Passo 3

Agora calculamos integral0^inftyt,e^-st,dt de novo por partes. Seja
u = t, dv = e^-st,dt
resultando em
du = dt, v = -1se^-st
Assim,
integral0^inftyt,e^-st,dt =l[-tse^-str]0^infty +integral0^infty1se^-st,dt =1sintegral0^inftye^-st,dt
E a integral simples é
integral0^inftye^-st,dt =l[-1se^-str]0^infty =1s
novamente para Re(s)>0. Portanto
integral0^inftyt,e^-st,dt =1scdot1s =1s^2

Passo 4

Substituindo de volta em
integral0^inftyt^2e^-st,dt =2sintegral0^inftyt,e^-st,dt, obtemos
integral0^inftyt^2e^-st,dt =2scdot1s^2 =2s^3
A convergência exigiu Re(s)>0.

Resposta

Lt^2(s)=2s^3, s>0

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