Se
é uma função contínua para
, a transformada de Laplace de
é a função
definida como
O domínio da função
será o conjunto de todos os números
tais que a integral converge. Determine a transformada de Laplace das seguintes funções
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de
, isto é,
e devemos determinar para quais
essa integral converge.
Passo 2
Para avaliar
vamos usar o método de integração por partes. Definimos
então
A fórmula de partes dá
Para
o termo
tende a zero, e em
t=0 também é zero. Logo sobra
Passo 3
Agora calculamos
integral0^inftyt,e^-st,dt de novo por partes. Seja
resultando em
Assim,
E a integral simples é
novamente para
Re(s)>0 . Portanto
Passo 4
Substituindo de volta em
integral0^inftyt^2e^-st,dt =2sintegral0^inftyt,e^-st,dt , obtemos
A convergência exigiu
Re(s)>0 .