Faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas. Determine se a área deve ser calculada como uma integral respeito a
ou respeito a
, e calcule a área.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região limitada pelas curvas
,
e a reta vertical
, e em seguida o cálculo de sua área. O conteúdo aqui é área entre curvas usando integração. Vamos precisar:
- Encontrar onde as duas curvas se cruzam.
- Ver qual é a “superior” e qual é a “inferior” na região de interesse.
- Decidir se faz mais sentido usar integrais em
ou em . - Montar e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro vemos onde
. Igualando,
isso dá
(desconsideramos
porque não faz parte da região). No intervalo
, temos
, ou seja,
é a curva superior e
é a curva inferior. A reta
fecha a região à direita, e o cruzamento em
fecha à esquerda. Portanto a região está para
.
Passo 3
Como a região é descrita facilmente por “para cada
de 1 a 3,
vai de
até
”, é natural usar integral em
. A área
é
Calculamos:
Logo,
Resposta
A área da região é