Faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas. Determine se a área deve ser calculada como uma integral respeito a x ou respeito a y, e calcule a área.
y=1 / x, y=1 / x^2, x=3.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região limitada pelas curvas y = 1/x, y = 1/x^2 e a reta vertical x = 3, e em seguida o cálculo de sua área. O conteúdo aqui é área entre curvas usando integração. Vamos precisar:
  1. Encontrar onde as duas curvas se cruzam.
  2. Ver qual é a “superior” e qual é a “inferior” na região de interesse.
  3. Decidir se faz mais sentido usar integrais em x ou em y.
  4. Montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro vemos onde 1/x = 1/x^2. Igualando,
1x = 1x^2
isso dá x = 1 (desconsideramos x=0 porque não faz parte da região). No intervalo x>1, temos 1/x > 1/x^2, ou seja, y=1/x é a curva superior e y=1/x^2 é a curva inferior. A reta x=3 fecha a região à direita, e o cruzamento em x=1 fecha à esquerda. Portanto a região está para 1 <= x <= 3.

Passo 3

Como a região é descrita facilmente por “para cada x de 1 a 3, y vai de 1/x^2 até 1/x”, é natural usar integral em x. A área A é
A = integral1^3l(1x - 1x^2r),dx
Calculamos:
integral 1x,dx = ln x, integral 1x^2,dx = integral x^-2,dx = -,1x
Logo,
A = l[ln x + 1xr]1^3 = l(ln 3 + tfrac13r) - l(ln 1 + 1r) = ln 3 + tfrac13 - 1 = ln 3 - tfrac23

Resposta

A área da região é
boxed,ln 3 - tfrac23,

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