Uma casca hemiesférica, de raio R, está eletricamente carregada com carga Q uniformemente distribuída. Para um ponto P, situado a uma distância R do centro da casca, calcule:
a) o potencial elétrico.
b) o campo elétrico.

Passo 1

O enunciado pede o potencial e o campo num ponto P que fica a uma distância R do centro de uma casca hemisférica (aberta) de raio R carregada com carga total Q uniformemente distribuída. O conteúdo é aplicação de Lei de Coulomb por integração de superfície em coordenadas esféricas, e vamos precisar usar densidade de carga superficial, elemento de área e substituir no ponto P sobre o eixo de simetria.

Passo 2

Primeiro definimos coordenadas: colocamos o centro da hemisfera na origem e o eixo z perpendicular ao plano da “base” da meia casca. A densidade de carga superficial é
sigma=Q2pi R^2
Um elemento de área na superfície vale dA=R^2sintheta,dtheta,dphi, com 0<=theta<=tfracpi2 e 0<=phi<2pi. O ponto P está no eixo z em z=R. A distância de um ponto da casca (R,theta,phi) até P é
r'=raizR^2+R^2-2Rcdot Rcostheta=Rraiz2(1-costheta)

Passo 3

Para o potencial, usamos
V=14pivarepsilon0integral duplasigma,dAr' =sigma R^24pivarepsilon0integral0^2pidphiintegral0^pi/2sintheta,dthetaRraiz2(1-costheta)
Fazendo a integral em phi surge fator 2pi e simplificações levam a
V=sigma R2varepsilon0integral0^pi/2sintheta2sin(theta/2),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade sintheta=2sin(theta/2)cos(theta/2) para simplificar o integrando:
sintheta2sin(theta/2)=2sin(theta/2)cos(theta/2)2sin(theta/2)=cosl(tfractheta2r)
Então
V=sigma R2varepsilon0integral0^pi/2cosl(tfractheta2r),dtheta
Tomando u=theta/2, dtheta=2,du e limites de 0 a pi/4, a integral vale 2sin u|0^pi/4=2(tfracraiz22)=raiz2. Logo
V=sigma Rraiz22varepsilon0

Passo 5

Substituindo sigma=Q/(2pi R^2) obtemos
V=Qraiz24pivarepsilon0,R
Agora para o campo no eixo z usamos
Ez=14pivarepsilon0integral duplasigma,dAz-Rcostheta(r')^3
e, para z=R, num procedimento análogo (aplicando o mesmo tipo de simplificações trigonométricas), chega-se a
Ez=sigmaraiz24varepsilon0

Passo 6

Finalmente, em termos de Q e na direção +hat z, o campo é
E=Ez,hat z=Qraiz28pivarepsilon0,R^2,hat z

Resposta

Potencial: V=dfracQraiz24pivarepsilon0,R. Campo: E=dfracQraiz28pivarepsilon0,R^2,hat n, onde hat n é a normal ao vértice (eixo da hemisfera).

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