Uma casca hemiesférica, de raio
, está eletricamente carregada com carga
uniformemente distribuída. Para um ponto
, situado a uma distância
do centro da casca, calcule:
a) o potencial elétrico.
b) o campo elétrico.
a) o potencial elétrico.
b) o campo elétrico.
Passo 1
O enunciado pede o potencial e o campo num ponto P que fica a uma distância R do centro de uma casca hemisférica (aberta) de raio R carregada com carga total Q uniformemente distribuída. O conteúdo é aplicação de Lei de Coulomb por integração de superfície em coordenadas esféricas, e vamos precisar usar densidade de carga superficial, elemento de área e substituir no ponto P sobre o eixo de simetria.
Passo 2
Primeiro definimos coordenadas: colocamos o centro da hemisfera na origem e o eixo z perpendicular ao plano da “base” da meia casca. A densidade de carga superficial é
Um elemento de área na superfície vale
, com
e
. O ponto P está no eixo z em
. A distância de um ponto da casca
até P é
Passo 3
Para o potencial, usamos
Fazendo a integral em
surge fator
e simplificações levam a
Passo 4
Usamos a identidade
para simplificar o integrando:
Então
Tomando
,
e limites de 0 a
, a integral vale
. Logo
Passo 5
Substituindo
obtemos
Agora para o campo no eixo z usamos
e, para
, num procedimento análogo (aplicando o mesmo tipo de simplificações trigonométricas), chega-se a
Passo 6
Finalmente, em termos de Q e na direção
, o campo é
Resposta
Potencial:
. Campo:
, onde
é a normal ao vértice (eixo da hemisfera).