Calcular o ângulo entre a reta que passa pelo pontos P=(-1,0,2) e Q=(1,1,1) e a reta intersessão dos planos x-y+2 z=1 e x+z=-1

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em \mathbb{R}^3: a reta que passa por P=(-1,0,2) e Q=(1,1,1), e a reta de interseção dos planos
x - y + 2z = 1
e
x + z = -1.
Para resolver, vamos usar vetores diretores e a fórmula do ângulo \theta entre retas:
\cos\theta = \frac{\lvert \mathbf{v}_1\!\cdot\!\mathbf{v}_2\rvert}{\|\mathbf{v}_1\|\;\|\mathbf{v}_2\|}.

Passo 2

Primeiro achamos o vetor diretor da reta PQ. Se \mathbf{P}=(-1,0,2) e \mathbf{Q}=(1,1,1), então
\mathbf{v}_1 = \overrightarrow{PQ} = \mathbf{Q}-\mathbf{P} = (1-(-1),\,1-0,\,1-2) = (2,\,1,\,-1).

Passo 3

Agora encontramos um vetor diretor da reta de interseção dos planos. Os normais são
\mathbf{n}_1=(1,-1,2) e \mathbf{n}_2=(1,0,1).
O vetor diretor \mathbf{v}_2 é
\mathbf{v}_2 = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \bigl(-1,\,1,\,1\bigr).

Passo 4

Calculemos o produto interno e as normas:
\mathbf{v}_1\!\cdot\!\mathbf{v}_2 = 2\cdot(-1) + 1\cdot1 + (-1)\cdot1 = -2 +1 -1 = -2,
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}, \quad \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.
Logo,
\cos\theta = \frac{\lvert -2\rvert}{\sqrt{6}\,\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\Bigr).

Exercícios relacionados