Determine para quais x \in \mathbb{R} as séries a seguir convergem: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n} \ln n}{n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais x\in\mathbb{R} a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}\ln n}{n}
converge. O conteúdo é séries de potências e critérios de convergência (teste da raiz, análise dos extremos).
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz: examinamos
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\biggl|\frac{x^{n}\ln n}{n}\biggr|} \;=\;\limsup_{n\to\infty}\Bigl|x\Bigr|\sqrt[n]{\frac{\ln n}{n}} \;=\;|x|\cdot\underbrace{\limsup_{n\to\infty}\bigl(\tfrac{\ln n}{n}\bigr)^{1/n}}_{=1} \;=\;|x|.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se L<1, ou seja, se |x|<1; diverge se |x|>1.
Passo 3
Precisamos ainda checar os pontos x=1 e x=-1.
Para x=1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.
Pelo teste da integral, \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{\ln t}{t}\,dt=(\ln t)^{2}/2\big|_{2}^{\infty} diverge, logo a série diverge em x=1.
Passo 4
Para x=-1 a série é
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln n}{n}.
Seja b_{n}=\ln n/n. Note que \lim_{n\to\infty}b_{n}=0 e, para n grande, b_{n} é decrescente. Pelo critério de Leibniz (séries alternantes de termos decrescentes a zero), a série converge condicionalmente em x=-1.
Resposta
A série converge absolutamente para -1< x<1, converge condicionalmente em x=-1 e diverge para x\ge1 ou x<-1. Portanto o conjunto de convergência é \;[-1,1).