Para cada série a seguir, justifique se a mesma converge ou diverge. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+\log n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+\log n}
converge ou diverge. Aqui vamos usar comparação com uma p-série para testar convergência absoluta, lembrando que se uma série converge absolutamente então ela converge normalmente.
Como a p-série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge (pois 2>1), pelo teste da comparação direta concluímos que \sum_{n=1}^{\infty}1/(n^{2}+\log n) converge.
Passo 3
Como a série dos valores absolutos converge, a série original \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+\log n}
converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.