Para cada série a seguir, justifique se a mesma converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+\log n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+\log n}
converge ou diverge. Aqui vamos usar comparação com uma p-série para testar convergência absoluta, lembrando que se uma série converge absolutamente então ela converge normalmente.

Passo 2

Consideremos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+\log n}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+\log n}.
Para n\ge1 temos \log n\ge0, logo
n^{2}+\log n\;\ge\;n^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^{2}+\log n}\;\le\;\frac{1}{n^{2}}.
Como a p-série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge (pois 2>1), pelo teste da comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}1/(n^{2}+\log n) converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, a série original
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+\log n}
converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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