0 (2) (valor 2,0) Encontre uma equação da reta tangente da circunferência \left\{\begin{array}{l}x=2 \cos t \\\ y=2 \operatorname{sen} t\end{array}, t \in[0, \pi]\right. no ponto P(\sqrt{2}, \sqrt{2}).

Passo 1

O enunciado dá a circunferência parametrizada por
x = 2\cos t,\quad y = 2\operatorname{sen} t,\quad t\in[0,\pi]
e pede a reta tangente no ponto P(\sqrt{2},\sqrt{2}). Vamos usar derivadas paramétricas para obter o coeficiente angular da tangente e depois a equação da reta.

Passo 2

Para encontrar o valor de t que gera P, resolvemos
2\cos t = \sqrt{2},\quad 2\operatorname{sen} t = \sqrt{2}.
Isso implica \cos t = \operatorname{sen} t = \tfrac{\sqrt{2}}{2}, ou seja
t = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Calculamos as derivadas em função de t:
\frac{dx}{dt} = -2\operatorname{sen} t, \quad \frac{dy}{dt} = 2\cos t.
O coeficiente angular da tangente é
m = \frac{dy/dt}{dx/dt}.

Passo 4

Em t = \tfrac{\pi}{4} temos
\frac{dx}{dt} = -2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}, \quad \frac{dy}{dt} = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2},
portanto
m = \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt{2}} = -1.

Passo 5

Usando a forma ponto–reta com P(\sqrt{2},\sqrt{2}) e m=-1:
y - \sqrt{2} = -1\bigl(x - \sqrt{2}\bigr).
Isolando y, obtemos
y = -x + 2\sqrt{2}.

Resposta

y = -x + 2\sqrt{2}

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