Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo:
( ) O maior diâmetro da elipse 2 x^2+y^2=2 ocorre na direção horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o maior diâmetro da elipse
2x^2+y^2=2
ocorre na direção horizontal. O conteúdo envolvido é geometria analítica de elipses: cada diâmetro é uma corda que passa pelo centro, e queremos comparar seus comprimentos em diferentes direções.

Passo 2

Escolhemos uma direção que forma ângulo theta com o eixo x, dada pelo vetor unitário l(costheta,sinthetar). Os extremos dessa corda na elipse estão em
(x,y)=pm t,(costheta,sintheta)
onde o parâmetro t>0 satisfaz a condição de estar na elipse. Substituindo em 2x^2+y^2=2 obtemos
2l(tcosthetar)^2+l(tsinthetar)^2=2 Longrightarrow t^2l(2cos^2theta+sin^2thetar)=2
Logo
t=raiz2,2cos^2theta+sin^2theta,
e o comprimento do diâmetro nessa direção é
L(theta)=2t =2raiz2,2cos^2theta+sin^2theta,

Passo 3

Para maximizar L(theta) basta minimizar o denominador
D(theta)=2cos^2theta+sin^2theta =l(cos^2theta+sin^2thetar)+cos^2theta =1+cos^2theta
Esse valor atinge o mínimo quando cos^2theta=0, ou seja theta=tfracpi2 (direção vertical). Nesse caso
Lmax =2raiz2,1+0, =2raiz2
enquanto na direção horizontal ( theta=0) temos
L(0)=2raiz2,2+0,=2

Passo 4

Como 2raiz2>2, o maior diâmetro ocorre verticalmente, não horizontalmente. Um contra-exemplo concreto: os pontos (0,raiz2) e (0,-raiz2) estão na elipse e têm distância 2raiz2, maior que 2, que seria o diâmetro horizontal.

Resposta

F (falsa)

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