Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique sua resposta, isto é, no caso de ser verdadeira esboce as ideias de uma demonstração e se for falsa dê um contra-exemplo:
( ) O maior diâmetro da elipse
ocorre na direção horizontal.
( ) O maior diâmetro da elipse
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o maior diâmetro da elipse
ocorre na direção horizontal. O conteúdo envolvido é geometria analítica de elipses: cada diâmetro é uma corda que passa pelo centro, e queremos comparar seus comprimentos em diferentes direções.
Passo 2
Escolhemos uma direção que forma ângulo
com o eixo
, dada pelo vetor unitário
. Os extremos dessa corda na elipse estão em
onde o parâmetro
satisfaz a condição de estar na elipse. Substituindo em
obtemos
Logo
e o comprimento do diâmetro nessa direção é
Passo 3
Para maximizar
basta minimizar o denominador
Esse valor atinge o mínimo quando
, ou seja
(direção vertical). Nesse caso
enquanto na direção horizontal (
) temos
Passo 4
Como
, o maior diâmetro ocorre verticalmente, não horizontalmente. Um contra-exemplo concreto: os pontos
e
estão na elipse e têm distância
, maior que
, que seria o diâmetro horizontal.
Resposta
F (falsa)