e pede o maior subconjunto de R^2 onde f é contínua, ou seja, o conjunto de pontos onde ela não tem “quebra” nem “buraco”. Vamos usar dois fatos básicos de continuidade: 1. A razão de funções contínuas é contínua onde o denominador não é zero. 2. Se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0), então f é contínua em (0,0). Para esse limite, usaremos coordenadas polares.]
Passo 2
Para temos que . As funções
são contínuas em todo e , e é contínua sempre que . Logo
é contínua em todo ponto onde , isto é, em .
Passo 3
Falta verificar a continuidade em (0,0). Vamos ao limite
lim(x,y)to(0,0)senl(x^2+y^2r)x^2+y^2
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos x^2+y^2=r^2. Assim
senl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =sen(r^2)r^2
Como rto0^+ implica r^2to0, e sabemos o limite clássico