Em cada um dos itens abaixo, seja

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracsenl(x^2+y^2r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&(x,y)=(0,0),
e pede o maior subconjunto de R^2 onde f é contínua, ou seja, o conjunto de pontos onde ela não tem “quebra” nem “buraco”. Vamos usar dois fatos básicos de continuidade:
1. A razão de funções contínuas é contínua onde o denominador não é zero.
2. Se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0), então f é contínua em (0,0). Para esse limite, usaremos coordenadas polares.]

Passo 2

Para temos que . As funções
são contínuas em todo e , e é contínua sempre que . Logo
é contínua em todo ponto onde , isto é, em .

Passo 3

Falta verificar a continuidade em (0,0). Vamos ao limite
lim(x,y)to(0,0)senl(x^2+y^2r)x^2+y^2
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos x^2+y^2=r^2. Assim
senl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =sen(r^2)r^2
Como rto0^+ implica r^2to0, e sabemos o limite clássico
limtto0sen(t)t=1,
segue que
lim(x,y)to(0,0)senl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =limrto0^+sen(r^2)r^2 =limtto0sen(t)t =1
Como f(0,0)=1, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).

Resposta

O maior subconjunto de em que é contínua é todo o domínio de , ou seja,
Em outras palavras, é contínua em todos os pontos de .

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