Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral0^pi / 2(x+cos x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é de integral0^pi / 2(x + cos x) , dx usando o teorema da variação total. Esse teorema é uma forma do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais definidas de maneira eficiente. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções básicas como x e cos x.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi / 2(x + cos x) , dx = integral0^pi / 2 x , dx + integral0^pi / 2 cos x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
integral x , dx
A integral de x em relação a x é x^22.

Passo 4

Agora, a segunda integral:
integral cos x , dx
A integral de cos x em relação a x é sin x.

Passo 5

Aplicando o teorema da variação total, que nos diz para avaliar as primitivas no limite superior e inferior e depois subtrair, temos:
[ x^22 ]0^pi / 2 + [ sin x ]0^pi / 2

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Para x^22:
(pi / 2)^22 - 0^22 = pi^28
Para sin x:
sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Resposta

Somando as duas partes, o valor da integral é:
pi^28 + 1

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