Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é de
usando o teorema da variação total. Esse teorema é uma forma do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a calcular integrais definidas de maneira eficiente. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções básicas como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
A integral de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, a segunda integral:
A integral de
em relação a
é
.
Passo 5
Aplicando o teorema da variação total, que nos diz para avaliar as primitivas no limite superior e inferior e depois subtrair, temos:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Resposta
Somando as duas partes, o valor da integral é: