Determine as derivadas parciais da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y)=5 x^4 y^2+x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais da função f(x,y)=5x⁴y²+x. O conteúdo é diferencial parcial, e vamos precisar tratar uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra, aplicando a regra do poder e a linearidade da derivada.

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x, consideramos y constante. Aplique a derivada em cada termo: derive 5x⁴y² como se fosse 5y²·x⁴ e some a derivada de x. Assim,
partialpartial x(5x^4y^2)=5y^2cdot4x^3=20x^3y^2,
e
partialpartial x(x)=1 Somando os termos obtém-se
partial fpartial x(x,y)=20x^3y^2+1

Passo 3

Para calcular ∂f/∂y, consideramos x constante. Derivamos 5x⁴y² em relação a y e a derivada de x some zero. Então,
partialpartial y(5x^4y^2)=5x^4cdot2y=10x^4y,
e
partialpartial y(x)=0 Portanto,
partial fpartial y(x,y)=10x^4y

Resposta

As derivadas parciais são
partial fpartial x(x,y)=20x^3y^2+1,
partial fpartial y(x,y)=10x^4y

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