Determine o valor das integrais abaixo usando o teorema da variação total.
integral0^pi(2 sen x-5^x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^pi(2 sin x - 5^x) dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o Teorema da Variação Total, que nos ajuda a encontrar o valor de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções básicas como sin x e 5^x.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral0^pi(2 sin x - 5^x) dx = 2 integral0^pi sin x , dx - integral0^pi 5^x , dx
Isso nos permite lidar com cada função individualmente.

Passo 3

Vamos integrar 2 sin x primeiro. Sabemos que a integral de sin x é -cos x. Então:
2 integral sin x , dx = 2 (-cos x) = -2 cos x
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
-2 cos pi - (-2 cos 0) = -2 (-1) - (-2 (1)) = 2 + 2 = 4

Passo 4

Agora, vamos integrar 5^x. A integral de a^x, onde a é uma constante, é a^xln a. Então:
integral 5^x , dx = 5^xln 5
Aplicando os limites de 0 a pi:
5^piln 5 - 5^0ln 5 = 5^pi - 1ln 5

Resposta

Finalmente, combinando os resultados das duas integrais:
integral0^pi(2 sin x - 5^x) dx = 4 - 5^pi - 1ln 5
Esse é o valor da integral solicitada.

Exercícios relacionados