Em cada um dos itens abaixo, seja

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
em R^2 e pede o maior subconjunto de R^2 onde f é contínua, ou seja, o conjunto dos pontos de continuidade de f. Vamos verificar a continuidade em dois casos: em pontos distintos de (0,0) e em (0,0).

Passo 2

Seja (x0,y0)neq(0,0). Nesse ponto o denominador x0^2+y0^2 é não nulo, e f é razão de polinômios sem singularidade ali. Logo, por propriedades de funções elementares, f é contínua em todo (x0,y0)neq(0,0). Assim,
f é contínua em R^2setminus(0,0) éí

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Usamos estimativa para mostrar lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0). Note que, para (x,y)neq(0,0),
l|f(x,y)-0r| =|x|^3x^2+y^2 =;|x|;x^2x^2+y^2 <=|x|
Dado varepsilon>0, escolha de<a=varepsilon. Se raizx^2+y^2<de<a, então |x|<=raizx^2+y^2<varepsilon, logo
|f(x,y)-f(0,0)|<=|x|<varepsilon
Isso prova que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e, portanto, f é contínua em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de f é
R^2

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