Determine as derivadas parciais da função dada em todos os pontos do seu domínio:
f(x, y)=e^-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=e^-x^2-y^2
para todos os (x,y) em R^2. O conteúdo aqui é derivada parcial de função composta, então vamos precisar da regra da cadeia.

Passo 2

Regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,y)=gl(u(x,y)r), então
partial fpartial x = g'l(u(x,y)r),partial upartial x,
tratando y como constante ao derivar em relação a x.

Passo 3

No nosso caso g(t)=e^t e u(x,y)=-x^2-y^2. Logo,
partial fpartial x = e^-x^2-y^2;partialpartial xl(-x^2-y^2r) = e^-x^2-y^2cdot(-2x) = -2x,e^-x^2-y^2

Passo 4

De modo similar, ao derivar em relação a y tratamos x como constante e obtemos
partial fpartial y = e^-x^2-y^2;partialpartial yl(-x^2-y^2r) = e^-x^2-y^2cdot(-2y) = -2y,e^-x^2-y^2

Resposta

partial fpartial x(x,y)=-2x,e^-x^2-y^2, partial fpartial y(x,y)=-2y,e^-x^2-y^2

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