Em cada um dos itens abaixo, seja f: A subset R^n R, n=2 ou n=3. Determine o maior subconjunto de R^n onde f é contínua.
f(x, y)=x^4+y^4-4 x^2 y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
fcolon AsubsetR^2toR, f(x,y)=x^4+y^4-4,x^2y^2,
e pede o maior subconjunto de R^2 onde f é contínua. O conteúdo aqui é que polinômios em variáveis reais são funções contínuas em todo o seu domínio.

Passo 2

Cada monômio xmapsto x^4 e ymapsto y^4 é contínuo em R. As funções xmapsto x^2 e ymapsto y^2 também são contínuas, logo o produto (x,y)mapsto x^2y^2 é contínuo em R^2. Soma e subtração de funções contínuas produzem funções contínuas. Como
f(x,y)=underbracex^4contínua +underbracey^4contínua -4cdotunderbracex^2y^2contínua, ííí
concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

O maior subconjunto de R^2 onde f é contínua é R^2.

Exercícios relacionados