Utilize coordenadas polares, isto é, x=r cos theta, y=r sin theta, para estudar os seguintes limites (Note que r 0^+quando (x, y) (0,0) ):
lim (x, y) (0,0) x^3-x y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=x^3-x y^2x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é análise de limite em duas variáveis usando coordenadas polares, ou seja, x=rcostheta e y=rsintheta, com rto0^+.

Passo 2

Usando x=rcostheta e y=rsintheta, calculamos numerador e denominador:
x^3-x y^2 = r^3l(cos^3theta-costhetasin^2thetar) = r^3costhetal(cos^2theta-sin^2thetar) = r^3costhetacos2theta
x^2+y^2 = r^2(cos^2theta+sin^2theta) = r^2
Portanto,
f(r,theta) =r^3costhetacos2thetar^2 = rcosthetacos2theta

Passo 3

Para qualquer theta, o fator costhetacos2theta é limitado (está entre -1 e 1). Logo, ao fazermos rto0^+, temos
rcosthetacos2theta ;longrightarrow; 0

Resposta

0

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