Em cada um dos itens abaixo, seja f: A subset R^n R, n=2 ou n=3. Determine o maior subconjunto de R^n onde f é contínua.
f(x, y)=log (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon AsubsetR^2toR, f(x,y)=logl(x^2+y^2r),
e pede o maior subconjunto de R^2 onde f é contínua. Para isso, lembramos que log(u) é contínua apenas para u>0 e que soma de quadrados é contínua em toda parte.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=x^2+y^2
Como soma, quadrado e adição são contínuos em R^2, g é contínua em todo R^2. Entretanto, para que logl(g(x,y)r) esteja bem definido e contínuo, precisamos de
g(x,y)>0Long<=ftrightarrow x^2+y^2>0

Passo 3

Portanto, f é contínua em todos os pontos de R^2 que satisfazem x^2+y^2>0. O único ponto que fica de fora é (0,0), pois ali o argumento do log seria zero e a função não está definida.

Resposta

O maior subconjunto de R^2 onde f é contínua é
(x,y)inR^2 mid x^2+y^2>0 = R^2setminus(0,0)

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