Se a desigualdade
1-x^2 y^23<arctan x yx y<1
é satisfeita, o que podemos afirmar do limite
lim (x, y) (0,0) arctan x yx y ?

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
1 - x^2 y^23 < arctan(xy)xy < 1
e pede o limite
lim(x,y)to(0,0)arctan(xy)xy.
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e vamos aplicar o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Para simplificar, faça t=xy. Quando (x,y)to(0,0), temos tto0. A desigualdade então fica
1 - t^23 < arctan tt < 1

Passo 3

Note que
limtto0l(1 - t^23r)=1
e
limtto01=1.
Ou seja, os limites dos “pinheiros” inferior e superior são ambos iguais a 1.

Passo 4

Pelo teorema do confronto, isso força
limtto0arctan tt=1
Voltando a t=xy, concluímos
lim(x,y)to(0,0)arctan(xy)xy=1

Resposta

1

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