Para cada um dos itens abaixo, teste o conjunto B para verificar se trata de um conjunto ortonormal. Em seguida, determine as coordenadas de w em função da base B.
w=(1,2) e B=(-2 raiz1313, 3 raiz1313),(3 raiz1313, 2 raiz1313)

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor ,w=(1,2)inR^2 e a base
B=lb1=l(-2raiz1313,3raiz1313r),;b2=l(3raiz1313,2raiz1313r)r
Precisamos (i) testar se B é ortonormal, isto é, verificar lang<= b1,b2rang<==0 e |b1|=|b2|=1, e depois (ii) encontrar as coordenadas de w nessa base ortonormal.

Passo 2

Calcular o produto interno entre b1 e b2:
lang<= b1,b2rang<= = l(-2raiz1313r)l(3raiz1313r) + l(3raiz1313r)l(2raiz1313r) = -6cdot13169 + 6cdot13169 =0

Passo 3

Calcular as normas de b1 e b2:
|b1| = raizl(-2raiz1313r)^2 + l(3raiz1313r)^2 = raiz4cdot13 + 9cdot13169 = raiz13cdot13169 =1,
|b2| = raizl(3raiz1313r)^2 + l(2raiz1313r)^2 = raiz9cdot13 + 4cdot13169 =1

Passo 4

Como lang<= b1,b2rang<==0 e |b1|=|b2|=1, concluímos que B é de fato uma base ortonormal de R^2.

Passo 5

Em uma base ortonormal, as coordenadas de w são
[w]B = l(lang<= w,b1rang<=,;lang<= w,b2rang<=r)
Calculamos
lang<= w,b1rang<= = 1cdotl(-2raiz1313r) + 2cdotl(3raiz1313r) = -2raiz1313 + 6raiz1313 = 4raiz1313,
lang<= w,b2rang<= = 1cdotl(3raiz1313r) + 2cdotl(2raiz1313r) = 3raiz1313 + 4raiz1313 = 7raiz1313

Resposta

A base B é ortonormal e as coordenadas de w em relação a B são
[w]B = l(tfrac4raiz1313,,tfrac7raiz1313r)

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