Determine o polinômio característico para o operador de derivação , .
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico do operador de derivação , definido por
O espaço tem dimensão . Para encontrar o polinômio característico, vamos representar numa base conveniente e calcular o determinante de .
Passo 2
Escolhemos a base canônica
Em relação a
Logo a matriz é triangular superior estrita.
Passo 3
Como é triangular superior, a matriz também é triangular superior, com entradas diagonais iguais a . O determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais. Portanto,
Passo 4
O fato de o polinômio característico ser lambda^n+1 reflete que widehat D é nilpotente de ordem n+1: widehat D^,n+1=0 em Pn(x), mas widehat D^nneq0.
Resposta
O polinômio característico de widehat D em Pn(x) é