Determine o polinômio característico para o operador de derivação widehatD: Pn(x) Pn(x), widehatD(x^k)=k x^k-1.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico do operador de derivação
widehat D:Pn(x)to Pn(x), definido por
widehat Dl(x^kr)=k,x^k-1
O espaço Pn(x) tem dimensão n+1. Para encontrar o polinômio característico, vamos representar widehat D numa base conveniente e calcular o determinante de lambda I - [widehat D].

Passo 2

Escolhemos a base canônica
Em relação a
Logo a matriz é triangular superior estrita.

Passo 3

Como M é triangular superior, a matriz lambda I - M também é triangular superior, com entradas diagonais iguais a lambda. O determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais. Portanto,
det!l(lambda I - Mr) =underbracelambdacdotlambdacdotslambdan+1 vezes =lambda^,n+1

Passo 4

O fato de o polinômio característico ser lambda^n+1 reflete que widehat D é nilpotente de ordem n+1:
widehat D^,n+1=0 em Pn(x), mas widehat D^nneq0.

Resposta

O polinômio característico de widehat D em Pn(x) é
boxedlambda^,n+1

Exercícios relacionados