Para cada um dos itens abaixo, teste o conjunto B para verificar se trata de um conjunto ortonormal. Em seguida, determine as coordenadas de w em função da base B.
w=(2,-2,1) e B=(raiz1010, 0, 3 raiz1010),(0,1,0),(-3 raiz1010, 0, raiz1010)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o vetor ,w=(2,-2,1), e o conjunto
,B=b1,b2,b3, em R^3 com
b1=l(raiz1010,0,3raiz1010r), b2=(0,1,0), b3=l(-3raiz1010,0,raiz1010r)
A tarefa é verificar se B é ortonormal (vetores unitários e mutuamente ortogonais) e, em seguida, determinar as coordenadas de w na base ortonormal B. Para isso, precisaremos usar o produto interno canônico e a propriedade de bases ortonormais.

Passo 2

Primeiro, checamos se cada vetor tem norma igual a 1. Por definição,
|bi|=raizlang<= bi,birang<=
Para b1:
lang<= b1,b1rang<= =l(raiz1010r)^2 +0^2 +l(3raiz1010r)^2 =10100+9cdot10100 =1,
logo |b1|=1. De forma análoga verifica-se que |b2|=1 e |b3|=1.

Passo 3

Agora, checamos se os vetores são ortogonais entre si, ou seja, se lang<= bi,bjrang<==0 para ineq j. Calculamos:
lang<= b1,b2rang<= =raiz1010cdot0 +0cdot1 +3raiz1010cdot0 =0,
lang<= b2,b3rang<= =0cdotl(-3raiz1010r) +1cdot0 +0cdotraiz1010 =0,
lang<= b1,b3rang<= =raiz1010l(-3raiz1010r) +0cdot0 +3raiz1010cdotraiz1010 =-3cdot10100+3cdot10100 =0
Portanto, os vetores de B são mutuamente ortogonais.

Passo 4

Como B é ortonormal, as coordenadas de w nessa base são dadas por
ci=lang<= bi,wrang<=
Calculamos cada uma:
c1 =llang<= b1,(2,-2,1)rrang<= =raiz1010cdot2 +0cdot(-2) +3raiz1010cdot1 =2raiz1010+3raiz1010 =5raiz1010 =raiz102,
c2 =lang<= b2,(2,-2,1)rang<= =0cdot2+1cdot(-2)+0cdot1 =-2,
c3 =llang<= b3,(2,-2,1)rrang<= =-3raiz1010cdot2 +0cdot(-2) +raiz1010cdot1 =-6raiz1010+raiz1010 =-5raiz1010 =-raiz102

Resposta

O conjunto B é ortonormal em R^3.
As coordenadas de w em relação à base B são
[w]B=l(raiz102,,-2,,-raiz102r)

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