Para cada um dos itens abaixo, teste o conjunto B para verificar se trata de um conjunto ortonormal. Em seguida, determine as coordenadas de w em função da base B.
w=(4,-3) e B=(raiz33, raiz63),(-raiz63, raiz33)

Passo 1

Resumindo, queremos testar se os vetores
b1=l(raiz33,raiz63r), b2=l(-raiz63,raiz33r)
formam um conjunto ortonormal em R^2, e em seguida expressar o vetor w=(4,-3) em função dessa base usando produtos internos.

Passo 2

Para verificar que são unitários, basta conferir que cada um tem norma 1:
lang<= b1,b1rang<= =l(raiz33r)^2+l(raiz63r)^2 =13+23=1,
lang<= b2,b2rang<= =l(-raiz63r)^2+l(raiz33r)^2 =23+13=1
Logo |b1|=|b2|=1.

Passo 3

Para verificar ortogonalidade, calculamos
lang<= b1,b2rang<= =raiz33l(-raiz63r) +raiz63raiz33 =-raiz189+raiz189=0
Como lang<= b1,b2rang<==0, os vetores são ortogonais e, juntos com a norma unitária, formam uma base ortonormal.

Passo 4

Em base ortonormal, as coordenadas de w são dadas por
alpha=lang<= w,b1rang<= =4cdotraiz33+(-3)cdotraiz63 =4raiz3-3raiz63,
beta=lang<= w,b2rang<= =4cdotl(-raiz63r)+(-3)cdotraiz33 =-4raiz6+3raiz33

Resposta

O conjunto B é ortonormal e as coordenadas de w na base B são
l(alpha,betar) =l(4raiz3-3raiz63,,-4raiz6+3raiz33r)

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