Considere no R^3, o produto interno euclidiano usual. Para que valores de m os vetores u e v são ortogonais:
u=(3 m, 2,-m) e v=(-4,1,5)

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3:
u = (3m,,2,,-m), v = (-4,,1,,5),
e pede para determinar o(s) valor(es) de m que tornam u e v ortogonais. O conteúdo aqui é produto interno no espaço euclidiano e o critério de ortogonalidade é
lang<= u,vrang<= = 0.

Passo 2

No R^3 com produto interno usual temos
lang<= u,vrang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3
Substituindo u1=3m, u2=2, u3=-m e v1=-4, v2=1, v3=5, obtém-se
lang<= u,vrang<= = (3m)(-4) + (2)(1) + (-m)(5) = -12m + 2 - 5m = -17m + 2

Passo 3

Para que u e v sejam ortogonais, basta impor
lang<= u,vrang<= = -17m + 2 = 0
e resolver para m. Assim,
-17m + 2 = 0 Longrightarrow m = 217

Resposta

m = tfrac217

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