Para cada um dos itens abaixo, teste o conjunto B para verificar se trata de um conjunto ortonormal. Em seguida, determine as coordenadas de w em função da base B.
w=(5,10,15) e B=(35, 45, 0),(-45, 35, 0),(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) verificar se o conjunto
B=lv1=l(tfrac35,tfrac45,0r),;v2=l(-tfrac45,tfrac35,0r),;v3=(0,0,1)r
é ortonormal em R^3; e (ii) em caso afirmativo, expressar o vetor
w=(5,10,15)
nas coordenadas dessa base. O conteúdo usado será produto interno, norma e projeção em base ortonormal.

Passo 2

Para ser ortonormal, cada vetor deve ter norma 1 e todo par distinto deve ser ortogonal. Verificamos:
|v1|^2=l(tfrac35r)^2+l(tfrac45r)^2+0^2=tfrac925+tfrac1625=1,
|v2|^2=l(-tfrac45r)^2+l(tfrac35r)^2+0^2=tfrac1625+tfrac925=1,
|v3|^2=0^2+0^2+1^2=1
Agora os produtos internos:
lang<= v1,v2rang<==tfrac35cdotl(-tfrac45r)+tfrac45cdottfrac35+0=0,
lang<= v1,v3rang<==0, lang<= v2,v3rang<==0
Logo B é ortonormal.

Passo 3

Em base ortonormal, as coordenadas de w são dadas por
ci=lang<= w,virang<=, i=1,2,3
Calculando:
c1=lang<= w,v1rang<==5cdottfrac35+10cdottfrac45+15cdot0=3+8+0=11,
c2=lang<= w,v2rang<==5cdotl(-tfrac45r)+10cdottfrac35+15cdot0=-4+6+0=2,
c3=lang<= w,v3rang<==5cdot0+10cdot0+15cdot1=15

Resposta

O conjunto B é ortonormal, e as coordenadas de w na base B são
(w)B = (11,,2,,15)

Exercícios relacionados