Considere os vetores u=2 e1-e2+2 e3, v=5 e1+5 e2-2 e3 e w=3 e1+6 e2. Determine as coordenadas do vetor u-v+3 w na base E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente tem três vetores, u, v e w, definidos na base E = e1, e2, e3. A missão é encontrar as coordenadas do vetor resultante de u - v + 3w nessa mesma base. Para isso, vamos usar as operações de adição e subtração de vetores, além da multiplicação por escalar. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever cada vetor com clareza:
u = 2,e1 - e2 + 2,e3
v = 5,e1 + 5,e2 - 2,e3
w = 3,e1 + 6,e2 + 0,e3
Perceba que adicionei 0,e3 em w para manter todas as componentes alinhadas.

Passo 3

Agora, vamos calcular 3w. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse número:
3w = 3 times (3,e1 + 6,e2 + 0,e3) = 9,e1 + 18,e2 + 0,e3

Passo 4

Em seguida, vamos calcular u - v. Para subtrair dois vetores, subtraímos as componentes correspondentes:
u - v = (2,e1 - e2 + 2,e3) - (5,e1 + 5,e2 - 2,e3)
= (2 - 5),e1 + (-1 - 5),e2 + (2 - (-2)),e3
= -3,e1 - 6,e2 + 4,e3

Passo 5

Agora, vamos juntar os resultados de u - v e 3w:
u - v + 3w = (-3,e1 - 6,e2 + 4,e3) + (9,e1 + 18,e2 + 0,e3)
= (-3 + 9),e1 + (-6 + 18),e2 + (4 + 0),e3
= 6,e1 + 12,e2 + 4,e3

Resposta

As coordenadas do vetor u - v + 3w na base E são:
boxed (6, 12, 4)

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