Determine m in R de forma que os vetores u=(1,2,2)E, v=(m-1,1, m-2)E e w=(m+1, m-1,2)E sejam linearmente dependentes.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o valor de m in R que faz com que os vetores u = (1, 2, 2) , v = (m-1, 1, m-2) e w = (m+1, m-1, 2) sejam linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de dependência linear, que envolve calcular o determinante da matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos arranjar os vetores u , v e w como colunas de uma matriz A :
A = 1 & m-1 & m+1 2 & 1 & m-1 2 & m-2 & 2
A dependência linear ocorre quando o determinante dessa matriz é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 2 - (m-2) cdot (m-1)) - (m-1) cdot (2 cdot 2 - 2 cdot (m-1)) + (m+1) cdot (2 cdot (m-2) - 1 cdot 2)

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
det(A) = 1 cdot (2 - (m-2)(m-1)) - (m-1) cdot (4 - 2(m-1)) + (m+1) cdot (2m - 4 - 2)
Simplificando mais:
det(A) = 2 - (m^2 - 3m + 2) - (m-1)(4 - 2m + 2) + (m+1)(2m - 6)
Continuando:
det(A) = 2 - m^2 + 3m - 2 - (m-1)(6 - 2m) + (m+1)(2m - 6)
det(A) = -m^2 + 3m - (m-1)(6 - 2m) + (m+1)(2m - 6)
Expandindo:
det(A) = -m^2 + 3m - [6m - 2m^2 -6 + 2m] + [2m^2 - 6m + 2m -6]
det(A) = -m^2 + 3m - 6m + 2m^2 +6 - 2m + 2m^2 -6m +2m -6
Agrupando termos semelhantes:
det(A) = ( -m^2 + 2m^2 + 2m^2 ) + (3m -6m -2m -6m +2m) + (6 -6)
det(A) = 3m^2 - 9m + 0
Então:
det(A) = 3m^2 - 9m

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser zero:
3m^2 - 9m = 0
Fatorando:
3m(m - 3) = 0
Assim, as soluções são:
m = 0 ou m = 3

Resposta

Os valores de m que fazem os vetores serem linearmente dependentes são m = 0 e m = 3 .

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