Em cada um dos itens abaixo, use a regra da cadeia para determinar d/z dt.
a) z = tg(x^2 + y) ; x(t) = 2 t e y(t) = t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas usando a regra da cadeia. O enunciado nos pede para encontrar onde , com e . Vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas aqui. Temos em termos de e , que por sua vez são funções de . Então, para encontrar , usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
Primeiro, . Sabemos que , onde . A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:
Segundo, . Similarmente, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Com todas as derivadas calculadas, substituímos de volta na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Agora, substituímos e pelas suas expressões em termos de :
Então,
Simplificando:

Resposta

Finalizando, a derivada é:

Exercícios relacionados