Em cada um dos itens abaixo, use a regra da cadeia para determinar
.
a)
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve derivadas usando a regra da cadeia. O enunciado nos pede para encontrar
onde
, com
e
. Vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas aqui. Temos
em termos de
e
, que por sua vez são funções de
. Então, para encontrar
, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
Primeiro,
. Sabemos que
, onde
. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Segundo,
. Similarmente, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 5
Com todas as derivadas calculadas, substituímos de volta na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos
e
pelas suas expressões em termos de
:
Então,
Simplificando:
Resposta
Finalizando, a derivada
é: