a) Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de duas equações com três variáveis:
,
e
. As equações são:
A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais e diferenciação implícita. Pra resolver, vamos precisar diferenciar essas equações em relação a
e depois isolar as derivadas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a primeira equação
em relação a
. Quando diferenciamos, tratamos
como uma função de
. Então, aplicamos a regra da cadeia:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, fazemos o mesmo com a segunda equação
. Diferenciando em relação a
:
Ficamos com:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas derivadas que queremos encontrar:
Podemos simplificar dividindo cada equação por 2:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na segunda equação:
Então:
Resposta
As derivadas são: