l x^2+z^2=1 y^2+z^2=1
a) Determine partial ypartial x e partial zpartial x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de duas equações com três variáveis: x^2 + z^2 = 1 y^2 + z^2 = 1 , e . As equações são:
A matéria envolvida aqui é cálculo de derivadas parciais e diferenciação implícita. Pra resolver, vamos precisar diferenciar essas equações em relação a e depois isolar as derivadas e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a primeira equação ddx(x^2) + ddx(z^2) = ddx(1) em relação a 2x + 2z partial zpartial x = 0 . Quando diferenciamos, tratamos como uma função de . Então, aplicamos a regra da cadeia:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo com a segunda equação ddx(y^2) + ddx(z^2) = ddx(1) . Diferenciando em relação a 2y partial ypartial x + 2z partial zpartial x = 0 :
Ficamos com:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas derivadas que queremos encontrar:
2x + 2z partial zpartial x = 0 2y partial ypartial x + 2z partial zpartial x = 0
Podemos simplificar dividindo cada equação por 2:
x + z partial zpartial x = 0 y partial ypartial x + z partial zpartial x = 0

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para x + z partial zpartial x = 0 implies partial zpartial x = -xz :

Passo 6

Agora, substituímos y partial ypartial x + z (-xz) = 0 implies y partial ypartial x - x = 0 na segunda equação:
y partial ypartial x = x implies partial ypartial x = xy
Então:

Resposta

As derivadas são:
partial ypartial x = xy e partial zpartial x = -xz

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