Determine a reta tangente a curva x^2/9 + y^2/25 = 1 que junto com os eixos x e forma o triângulo de maior área.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica e cálculo. A questão pede para encontrarmos a reta tangente à curva x^2/9 + y^2/25 = 1 (que é uma elipse) que, junto com os eixos x, forma o triângulo de maior área. Para isso, precisaremos usar derivadas para determinar as condições de tangência e otimização para maximizar a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva dada: x^2/9 + y^2/25 = 1 é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 5 na direção y e semi-eixo menor de comprimento 3 na direção x.

Passo 3

A reta tangente a uma curva geométrica como essa pode ser encontrada usando derivadas. Precisamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da elipse para determinar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer na elipse.

Passo 4

Vamos derivar a equação da elipse implicitamente em relação a x:
Resolvendo para $ \frac{dy}{dx} $:

Passo 5

Agora, a equação da reta tangente em um ponto na elipse é:
Simplificando, temos:

Passo 6

Para que a reta forma um triângulo com os eixos x e y, precisamos encontrar os interceptos com os eixos. O intercepto com o eixo x ocorre quando :
Resolvendo para x:
Mas da equação da elipse, sabemos que , então . Assim:
O intercepto com o eixo y ocorre quando x = 0:

Passo 7

A área A do triângulo formado pelos interceptos com os eixos é dada por:

Passo 8

Para maximizar a área A, precisamos minimizar o denominador . Usando a equação da elipse, expressamos em função de :
Substituindo na expressão de A:

Passo 9

Para achar o valor de que maximiza A, derivamos A em relação a e igualamos a zero:
Após simplificação, encontramos que o valor de que maximiza a área é .

Passo 10

Com , encontramos :

Passo 11

Agora, substituímos e na equação da reta tangente:
Simplificando:

Resposta

A reta tangente que, junto com os eixos x, forma o triângulo de maior área é:

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