Determine a reta tangente a curva que junto com os eixos e forma o triângulo de maior área.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria analítica e cálculo. A questão pede para encontrarmos a reta tangente à curva (que é uma elipse) que, junto com os eixos , forma o triângulo de maior área. Para isso, precisaremos usar derivadas para determinar as condições de tangência e otimização para maximizar a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva dada: é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 5 na direção e semi-eixo menor de comprimento 3 na direção .
Passo 3
A reta tangente a uma curva geométrica como essa pode ser encontrada usando derivadas. Precisamos encontrar a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da elipse para determinar a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer na elipse.
Passo 4
Vamos derivar a equação da elipse implicitamente em relação a :
Resolvendo para $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 5
Agora, a equação da reta tangente em um ponto na elipse é:
Simplificando, temos:
Passo 6
Para que a reta forma um triângulo com os eixos e , precisamos encontrar os interceptos com os eixos. O intercepto com o eixo ocorre quando :
Resolvendo para :
Mas da equação da elipse, sabemos que , então . Assim:
O intercepto com o eixo ocorre quando :
Passo 7
A área do triângulo formado pelos interceptos com os eixos é dada por:
Passo 8
Para maximizar a área , precisamos minimizar o denominador . Usando a equação da elipse, expressamos em função de :
Substituindo na expressão de A:
Passo 9
Para achar o valor de que maximiza A, derivamos A em relação a e igualamos a zero:
Após simplificação, encontramos que o valor de que maximiza a área é .
Passo 10
Com , encontramos :
Passo 11
Agora, substituímos e na equação da reta tangente:
Simplificando:
Resposta
A reta tangente que, junto com os eixos x, forma o triângulo de maior área é: