Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos:
a) Encontrar o domínio da função.
b) Encontrar a imagem da função.
c) Descrever as curvas de nível da função.
d) Encontrar a fronteira do domínio da função.
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas.
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, propriedades de conjuntos no plano, e noções básicas de topologia.
Passo 2
a) Encontrar o domínio da função
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como
é uma função polinomial de primeiro grau, ela está definida para todos os números reais
e
. Portanto, o domínio é todo o plano
:
Passo 3
b) Encontrar a imagem da função
.
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Como
e
e
podem ser qualquer número real, a diferença
também pode ser qualquer número real. Portanto, a imagem da função é:
Passo 4
c) Descrever as curvas de nível da função
.
As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para um valor constante
, temos:
Isso representa uma família de retas paralelas com inclinação 1, deslocadas verticalmente de acordo com o valor de
. Cada valor de
gera uma reta diferente:
Passo 5
d) Encontrar a fronteira do domínio da função
.
Como o domínio da função é todo o plano
, ele não possui uma fronteira no sentido tradicional, já que não há limites ou bordas no plano inteiro. Em termos topológicos, a fronteira de
dentro de si mesma é vazia. Portanto:
Passo 6
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas.
Um conjunto é aberto se, para todo ponto nele, existe uma “vizinhança” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. É fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Como o domínio é
, que não tem fronteira dentro de si mesmo, ele é considerado tanto aberto quanto fechado (um conjunto que é simultaneamente aberto e fechado é chamado de clopen). Portanto:
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão a uma distância finita de uma certa origem. Como
se estende infinitamente em todas as direções, o domínio não é limitado. Portanto:
Resposta
a) Domínio:
.
b) Imagem: .
c) Curvas de nível: retas da forma .
d) Fronteira do domínio: inexistente no contexto de .
e) O domínio é uma região aberta e fechada.
f) O domínio é não limitado.
b) Imagem:
c) Curvas de nível: retas da forma
d) Fronteira do domínio: inexistente no contexto de
e) O domínio é uma região aberta e fechada.
f) O domínio é não limitado.