Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado. f(x, y) = y - x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos:
a) Encontrar o domínio da função.
b) Encontrar a imagem da função.
c) Descrever as curvas de nível da função.
d) Encontrar a fronteira do domínio da função.
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas.
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, propriedades de conjuntos no plano, e noções básicas de topologia.

Passo 2

a) Encontrar o domínio da função .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como é uma função polinomial de primeiro grau, ela está definida para todos os números reais e . Portanto, o domínio é todo o plano :
í

Passo 3

b) Encontrar a imagem da função .
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir. Como e e podem ser qualquer número real, a diferença também pode ser qualquer número real. Portanto, a imagem da função é:

Passo 4

c) Descrever as curvas de nível da função .
As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para um valor constante , temos:
Isso representa uma família de retas paralelas com inclinação 1, deslocadas verticalmente de acordo com o valor de . Cada valor de gera uma reta diferente:
í

Passo 5

d) Encontrar a fronteira do domínio da função .
Como o domínio da função é todo o plano , ele não possui uma fronteira no sentido tradicional, já que não há limites ou bordas no plano inteiro. Em termos topológicos, a fronteira de dentro de si mesma é vazia. Portanto:
í

Passo 6

e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas.
Um conjunto é aberto se, para todo ponto nele, existe uma “vizinhança” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. É fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Como o domínio é , que não tem fronteira dentro de si mesmo, ele é considerado tanto aberto quanto fechado (um conjunto que é simultaneamente aberto e fechado é chamado de clopen). Portanto:
íéã
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão a uma distância finita de uma certa origem. Como se estende infinitamente em todas as direções, o domínio não é limitado. Portanto:
íéã

Resposta

a) Domínio: .
b) Imagem: .
c) Curvas de nível: retas da forma .
d) Fronteira do domínio: inexistente no contexto de .
e) O domínio é uma região aberta e fechada.
f) O domínio é não limitado.

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