Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
f(x)=-2 x^{2};

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente a função f(x)=-2 x^{2} usando transformações (translações/transformações do gráfico). Informação dada e relevante:
  • A função é f(x)=-2 x^{2}.
  • Domínio: todos os reais (não é necessário para desenhar, mas útil).
  • Não há termos do tipo x-h nem soma constante fora do x^{2}, ou seja, não há deslocamento horizontal ou vertical explícito na expressão dada.

Passo 2

O que é o gráfico de referência que vamos transformar (pontos de partida):
  • O gráfico padrão a usar é a parábola quadrática básica y=x^{2}.
  • Propriedades importantes de y=x^{2}: \text{vértice em }(0,0),\qquad \text{eixo de simetria }x=0,\qquad \text{abre para cima}.é
  • Alguns pontos fáceis da parábola y=x^{2} para usar como referência: (0,0),\\ (1,1),\\ (-1,1),\\ (2,4),\\ (-2,4),\\ \left(\tfrac12,\tfrac14\right).

Passo 3

Entendendo a transformação geral y=a x^{2} aplicada ao gráfico de y=x^{2}:
  • Se um ponto (x,y) pertence a y=x^{2}, então o mesmo valor de x na função y=a x^{2} produz o ponto (x,a y). Em outras palavras, o fator a multiplica as ordenadas (valores de y).
  • Interpretação geométrica de a:
    • Se |a|>1: o gráfico é esticado verticalmente (fica mais “estreito”) por fator |a|.
    • Se 0<|a|<1: o gráfico é comprimido verticalmente (fica mais “largo”) por fator |a|.
    • Se a<0: além do estiramento/compressão, há reflexão em relação ao eixo x (o sinal inverte as ordenadas).
  • Resumindo, aplicar a transforma cada ponto (x,y) de y=x^{2} em (x,a y).

Passo 4

Aplicando isso ao caso concreto a=-2 (ou seja, f(x)=-2x^{2}):
  • O fator é a=-2. Então há duas ações combinadas:
    1. Multiplicar as ordenadas por 2 (estiramento vertical por fator 2).
    2. Como a é negativo, refletir em relação ao eixo x.
  • Pegando os pontos de referência de y=x^{2} e transformando conforme a regra (x,y)\mapsto(x,-2y): (0,0)\mapsto(0,-2\cdot 0)=(0,0),
(1,1)\mapsto(1,-2\cdot 1)=(1,-2),
(-1,1)\mapsto(-1,-2),
(2,4)\mapsto(2,-2\cdot 4)=(2,-8),
(-2,4)\mapsto(-2,-8),
\left(\tfrac12,\tfrac14\right)\mapsto\left(\tfrac12,-2\cdot\tfrac14\right)=\left(\tfrac12,-\tfrac12\right).
  • Esses pontos são todos exatos e fáceis de marcar no papel sem calculadora.

Passo 5

Descrição final do gráfico e instrução prática de esboço:
  • Vértice: (0,0) (permanece no origem).
  • Eixo de simetria: x=0.
  • Abertura: para baixo (porque o coeficiente principal é negativo).
  • Largura: mais estreita que y=x^{2} (porque há estiramento vertical por fator 2).
  • Para esboçar na prova, marque os pontos calculados no Passo 4, desenhe uma curva suave que passa por eles, simétrica em relação a x=0, com vértice em (0,0) e cauda descendo para baixo à medida que |x| aumenta.

Passo 6

Resumo operacional para você na prova (passos rápidos que pode reproduzir):
  1. Comece com a parábola y=x^{2}.
  2. Multiplique as ordenadas por 2 (pontos sobem/descem duas vezes mais rápido que antes).
  3. Inverta o sinal das ordenadas (reflexão no eixo x).
  4. Marque pontos como (1,-2),(-1,-2),(2,-8) e desenhe a parábola simétrica.

Resposta

Gráfico obtido a partir de y=x^{2} por estiramento vertical de fator 2 e reflexão em relação ao eixo x. Vértice (0,0), eixo de simetria x=0, abre para baixo e passa por (1,-2),(-1,-2),(2,-8),(-2,-8),\left(\tfrac12,-\tfrac12\right).

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