Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
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Passo 1
O enunciado pede: representar geometricamente a função
usando transformações (translações/transformações do gráfico). Informação dada e relevante:
- A função é
. - Domínio: todos os reais (não é necessário para desenhar, mas útil).
- Não há termos do tipo
nem soma constante fora do , ou seja, não há deslocamento horizontal ou vertical explícito na expressão dada.
Passo 2
O que é o gráfico de referência que vamos transformar (pontos de partida):
- O gráfico padrão a usar é a parábola quadrática básica
. - Propriedades importantes de
: - Alguns pontos fáceis da parábola
para usar como referência:
Passo 3
Entendendo a transformação geral
aplicada ao gráfico de
:
- Se um ponto
pertence a , então o mesmo valor de na função produz o ponto . Em outras palavras, o fator multiplica as ordenadas (valores de ). - Interpretação geométrica de
: - Se
: o gráfico é esticado verticalmente (fica mais “estreito”) por fator . - Se
: o gráfico é comprimido verticalmente (fica mais “largo”) por fator . - Se
: além do estiramento/compressão, há reflexão em relação ao eixo (o sinal inverte as ordenadas).
- Se
- Resumindo, aplicar
transforma cada ponto de em .
Passo 4
Aplicando isso ao caso concreto
(ou seja,
):
- O fator é
. Então há duas ações combinadas: - Multiplicar as ordenadas por
(estiramento vertical por fator ). - Como
é negativo, refletir em relação ao eixo .
- Multiplicar as ordenadas por
- Pegando os pontos de referência de
e transformando conforme a regra :
- Esses pontos são todos exatos e fáceis de marcar no papel sem calculadora.
Passo 5
Descrição final do gráfico e instrução prática de esboço:
- Vértice:
(permanece no origem). - Eixo de simetria:
. - Abertura: para baixo (porque o coeficiente principal é negativo).
- Largura: mais estreita que
(porque há estiramento vertical por fator ). - Para esboçar na prova, marque os pontos calculados no Passo 4, desenhe uma curva suave que passa por eles, simétrica em relação a
, com vértice em e cauda descendo para baixo à medida que aumenta.
Passo 6
Resumo operacional para você na prova (passos rápidos que pode reproduzir):
- Comece com a parábola
. - Multiplique as ordenadas por
(pontos sobem/descem duas vezes mais rápido que antes). - Inverta o sinal das ordenadas (reflexão no eixo
). - Marque pontos como
e desenhe a parábola simétrica.
Resposta
Gráfico obtido a partir de
por estiramento vertical de fator
e reflexão em relação ao eixo
. Vértice
, eixo de simetria
, abre para baixo e passa por
.