Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para representá‑la geometricamente “usando translação” (isto é, usando transformações do gráfico de uma função-base). As informações que temos:
- A função a representar é
. - Não há outros parâmetros nem figuras fornecidas.
O que se pede, na prática, é descrever como construir o gráfico dea partir de um gráfico mais simples (uma função-base).
Passo 2
Escolher uma função-base natural: a função raiz quadrada padrão
. Vou listar propriedades básicas de
para a gente poder manipular o gráfico com segurança:
- Domínio de
: . - Imagem (alcance) de
: . - Alguns pontos fáceis de plotar em
: -
porque . -
porque . -
porque .
-
- Forma do gráfico: começa em
e cresce para a direita, com crescimento decrescente (curva com concavidade para baixo).
Esses elementos servem para construirmos transformações.
Passo 3
Entender que transformação está presente em
.
- Compare
com : . - A operação
corresponde a uma reflexão do gráfico em relação ao eixo (ou “reflexão vertical”). Em termos gerais: se pertence ao gráfico de , então pertence ao gráfico de . - Importante: reflexão vertical NÃO é uma translação. Uma translação desloca todos os pontos por um mesmo vetor
; isso não muda a dependência funcional multiplicativa entre e . Aqui multiplicar por muda o sinal de de forma dependente do valor de , algo que nenhuma translação consegue fazer para todos os simultaneamente. Por exemplo, não existe tal que para todo , porque isso exigiria que depende de . - Portanto: não dá para obter
apenas por translação do gráfico de ; é necessária uma reflexão vertical (multiplicação por ).
Passo 4
Descrever passo a passo como construir o gráfico de
a partir de
(o que fazer na prova):
- Desenhe o gráfico de
no plano apenas para . Marque os pontos , , e a curva suave entre eles. - Para cada ponto
do gráfico de , marque o ponto . Isso reflete o gráfico de em relação ao eixo . - Ligue os pontos refletidos com uma curva suave: esse é o gráfico de
.
Observações úteis:
- O ponto
fica fixo pela reflexão (porque ). -
vai para ; vai para . - Domínio de
: ainda (multiplicar por não altera os válidos). - Imagem de
: (os valores tornam‑se não positivos, pois são os negativos dos valores não negativos de ).
Passo 5
Explicação conceitual curta para decorar:
- Transformação do tipo
corresponde a reflexão do gráfico em relação ao eixo . - Translações são da forma
e traduzem o gráfico; reflexão é multiplicação por e não pode ser substituída por uma simples translação.
Na prova: escreva rapidamente queé o reflexo de em relação ao eixo , cite domínio e imagem e indique três pontos para plotar ( ) — isso costuma ser suficiente para convencer graficamente.
Resposta
O gráfico de
é o reflexo do gráfico de
em relação ao eixo
; domínio
; imagem
.