Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
f(x)=-\sqrt{x};

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-\sqrt{x} e pede para representá‑la geometricamente “usando translação” (isto é, usando transformações do gráfico de uma função-base). As informações que temos:
  • A função a representar é f(x)=-\sqrt{x}.
  • Não há outros parâmetros nem figuras fornecidas.
    O que se pede, na prática, é descrever como construir o gráfico de f a partir de um gráfico mais simples (uma função-base).

Passo 2

Escolher uma função-base natural: a função raiz quadrada padrão \,g(x)=\sqrt{x}\,. Vou listar propriedades básicas de g para a gente poder manipular o gráfico com segurança:
  • Domínio de g: \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}.
  • Imagem (alcance) de g: \{y\in\mathbb{R}\mid y\ge 0\}.
  • Alguns pontos fáceis de plotar em g:
    • (0,0) porque \sqrt{0}=0.
    • (1,1) porque \sqrt{1}=1.
    • (4,2) porque \sqrt{4}=2.
  • Forma do gráfico: começa em (0,0) e cresce para a direita, com crescimento decrescente (curva com concavidade para baixo).
    Esses elementos servem para construirmos transformações.

Passo 3

Entender que transformação está presente em f(x)=-\sqrt{x}.
  • Compare f com g: f(x)=-\sqrt{x} = -1\cdot g(x).
  • A operação y\mapsto -y corresponde a uma reflexão do gráfico em relação ao eixo x (ou “reflexão vertical”). Em termos gerais: se (x,y) pertence ao gráfico de g, então (x,-y) pertence ao gráfico de -g.
  • Importante: reflexão vertical NÃO é uma translação. Uma translação desloca todos os pontos por um mesmo vetor (h,k); isso não muda a dependência funcional multiplicativa entre x e y. Aqui multiplicar por -1 muda o sinal de y de forma dependente do valor de y, algo que nenhuma translação consegue fazer para todos os x simultaneamente. Por exemplo, não existe k tal que \sqrt{x}+k = -\sqrt{x} para todo x, porque isso exigiria k=-2\sqrt{x} que depende de x.
  • Portanto: não dá para obter f apenas por translação do gráfico de g; é necessária uma reflexão vertical (multiplicação por -1).

Passo 4

Descrever passo a passo como construir o gráfico de f a partir de g (o que fazer na prova):
  1. Desenhe o gráfico de g(x)=\sqrt{x} no plano apenas para x\ge 0. Marque os pontos (0,0), (1,1), (4,2) e a curva suave entre eles.
  2. Para cada ponto (x,y) do gráfico de g, marque o ponto (x,-y). Isso reflete o gráfico de g em relação ao eixo x.
  3. Ligue os pontos refletidos com uma curva suave: esse é o gráfico de f(x)=-\sqrt{x}.
    Observações úteis:
  • O ponto (0,0) fica fixo pela reflexão (porque -0=0).
  • (1,1) vai para (1,-1); (4,2) vai para (4,-2).
  • Domínio de f: ainda \{x\ge 0\} (multiplicar por -1 não altera os x válidos).
  • Imagem de f: \{y\le 0\} (os valores tornam‑se não positivos, pois são os negativos dos valores não negativos de g).

Passo 5

Explicação conceitual curta para decorar:
  • Transformação do tipo y\mapsto -y corresponde a reflexão do gráfico em relação ao eixo x.
  • Translações são da forma y\mapsto g(x-h)+k e traduzem o gráfico; reflexão é multiplicação por -1 e não pode ser substituída por uma simples translação.
    Na prova: escreva rapidamente que f(x)=-\sqrt{x} é o reflexo de y=\sqrt{x} em relação ao eixo x, cite domínio e imagem e indique três pontos para plotar ( (0,0),(1,-1),(4,-2)) — isso costuma ser suficiente para convencer graficamente.

Resposta

O gráfico de f(x)=-\sqrt{x} é o reflexo do gráfico de y=\sqrt{x} em relação ao eixo x; domínio \{x\ge 0\}; imagem \{y\le 0\}.

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