Use translação para representar geometricamente as funções:
y=-x^{2}-10 x-22;

Passo 1

O enunciado dá a função
y=-x^{2}-10x-22
e pede que ela seja representada geometricamente por uma translação (isto é, descrever a parábola como uma versão deslocada de uma parábola mais simples).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é \;y=-x^{2}-10x-22\;.
  • A tarefa é expressá-la de modo a identificar claramente as translações necessárias para obter seu gráfico a partir de uma parábola básica.

Passo 2

Estratégia (explicando a técnica que vamos usar): para entender as translações é muito útil escrever a parábola na forma “vértice” (forma de soma de quadrado), isto facilita ver deslocamentos horizontais e verticais. A técnica para isso chama-se completar o quadrado. Vou explicar como completar o quadrado numa expressão do tipo \;ax^{2}+bx+c\;:
  • Se tivermos \;ax^{2}+bx\; (ignorando momentaneamente c), podemos escrever
ax^{2}+bx = a\!\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right).
  • Dentro do parêntese completamos o quadrado: lembrando que \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} = x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}. Então
ax^{2}+bx = a\!\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right].
  • Depois reintroduzimos c e rearranjamos. O objetivo final é ter algo na forma
y = a\bigl(x-h\bigr)^{2}+k,
onde (h,k) é o vértice; então a transformação em relação à parábola básica y=a x^{2} é: translação horizontal de h (sinal trocado) e vertical de k.
Vou aplicar essa técnica passo a passo ao caso concreto.

Passo 3

Aplicando completar o quadrado à função dada.
Começo por fatorar -1 dos termos quadrático e linear para facilitar:
y = -\bigl(x^{2}+10x+22\bigr).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Primeiro considero x^{2}+10x. Uso a identidade
x^{2}+10x = \left(x+5\right)^{2}-25,
pois \left(x+5\right)^{2}=x^{2}+10x+25, então subtraímos 25 para compensar.
Substituindo de volta:
x^{2}+10x+22 = \bigl(x+5\bigr)^{2}-25+22 = \bigl(x+5\bigr)^{2}-3.
Portanto
y = -\bigl(\left(x+5\right)^{2}-3\bigr).
Distribuindo o -1:
y = -\left(x+5\right)^{2}+3.
Assim obtemos a forma de vértice.

Passo 4

Interpretação geométrica das transformações a partir da forma encontrada.
A forma
y = -\left(x+5\right)^{2}+3
pode ser vista em relação à parábola base \;y=-x^{2}\; da seguinte maneira:
  • O termo \left(x+5\right) corresponde a substituir x por x+5. Em regras de transformação, y=f(x-h) desloca a curva f para a direita em h; logo y=f(x+5) equivale a y=f(x-(-5)), ou seja, deslocamento horizontal para a esquerda de 5 unidades. Portanto há uma translação horizontal de 5 unidades para a esquerda.
  • O término +3 fora do quadrado indica uma translação vertical de 3 unidades para cima.
Em palavras: pegar \;y=-x^{2}\;, deslocar 5 unidades para a esquerda e em seguida subir 3 unidades.

Passo 5

Informações úteis para esboçar e entender o gráfico.
  • Vértice: pela forma \;y=-(x+5)^{2}+3\;, o vértice é o ponto \;(-5,\,3)\;.
  • Concavidade: coeficiente do quadrado é negativo ( -1), portanto a parábola abre para baixo.
  • Eixo de simetria: reta vertical \;x=-5\;.
  • Pontos simétricos úteis para desenhar: tomar x=-5\pm 1. Para x=-4 e x=-6,
y = -\left(\pm 1\right)^{2}+3 = -1+3=2,
logo os pontos (-4,2) e (-6,2) pertencem à parábola — isso ajuda no esboço.
  • Intercepto com o eixo y: para x=0,
y = -0^{2}-10\cdot 0 -22 = -22,
ou usando a forma transformada \;y=-(0+5)^{2}+3=-25+3=-22, consistente. Então o ponto (0,-22) é o intercepto em y.
  • Raízes (opcional): resolver -\left(x+5\right)^{2}+3=0 \left(x+5\right)^{2}=3 e
x = -5 \pm \sqrt{3},
são as interseções com o eixo x.

Passo 6

Como desenhar a partir da parábola base (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe a parábola básica \;y=-x^{2}\; com vértice em (0,0) e concavidade para baixo.
  2. Desloque todo o gráfico 5 unidades para a esquerda — o vértice vai para (-5,0).
  3. Depois desloque 3 unidades para cima — o vértice final fica em (-5,3).
  4. Marque alguns pontos simétricos (por exemplo (-4,2) e (-6,2)) e o intercepto em y (0,-22) para orientar a forma exata.
Você consegue! Com a forma \;y=-(x+5)^{2}+3\; fica fácil justificar qualquer informação sobre o gráfico durante a prova.

Resposta

y=-(x+5)^{2}+3 — é a parábola y=-x^{2} transladada 5 unidades para a esquerda e 3 unidades para cima; vértice em (-5,3), concavidade para baixo.

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