Use translação para representar geometricamente as funções:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que ela seja representada geometricamente por uma translação (isto é, descrever a parábola como uma versão deslocada de uma parábola mais simples).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - A tarefa é expressá-la de modo a identificar claramente as translações necessárias para obter seu gráfico a partir de uma parábola básica.
Passo 2
Estratégia (explicando a técnica que vamos usar): para entender as translações é muito útil escrever a parábola na forma “vértice” (forma de soma de quadrado), isto facilita ver deslocamentos horizontais e verticais. A técnica para isso chama-se completar o quadrado. Vou explicar como completar o quadrado numa expressão do tipo
:
- Se tivermos
(ignorando momentaneamente ), podemos escrever
- Dentro do parêntese completamos o quadrado: lembrando que
. Então
- Depois reintroduzimos
e rearranjamos. O objetivo final é ter algo na forma
onde
é o vértice; então a transformação em relação à parábola básica
é: translação horizontal de
(sinal trocado) e vertical de
.
Vou aplicar essa técnica passo a passo ao caso concreto.
Passo 3
Aplicando completar o quadrado à função dada.
Começo por fatorar
dos termos quadrático e linear para facilitar:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Primeiro considero
. Uso a identidade
pois
, então subtraímos
para compensar.
Substituindo de volta:
Portanto
Distribuindo o
:
Assim obtemos a forma de vértice.
Passo 4
Interpretação geométrica das transformações a partir da forma encontrada.
A forma
pode ser vista em relação à parábola base
da seguinte maneira:
- O termo
corresponde a substituir por . Em regras de transformação, desloca a curva para a direita em ; logo equivale a , ou seja, deslocamento horizontal para a esquerda de unidades. Portanto há uma translação horizontal de unidades para a esquerda. - O término
fora do quadrado indica uma translação vertical de unidades para cima.
Em palavras: pegar
, deslocar 5 unidades para a esquerda e em seguida subir 3 unidades.
Passo 5
Informações úteis para esboçar e entender o gráfico.
- Vértice: pela forma
, o vértice é o ponto . - Concavidade: coeficiente do quadrado é negativo (
), portanto a parábola abre para baixo. - Eixo de simetria: reta vertical
. - Pontos simétricos úteis para desenhar: tomar
. Para e ,
logo os pontos
e
pertencem à parábola — isso ajuda no esboço.
- Intercepto com o eixo
: para ,
ou usando a forma transformada
, consistente. Então o ponto
é o intercepto em
.
- Raízes (opcional): resolver
dá e
são as interseções com o eixo
.
Passo 6
Como desenhar a partir da parábola base (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe a parábola básica
com vértice em e concavidade para baixo. - Desloque todo o gráfico 5 unidades para a esquerda — o vértice vai para
. - Depois desloque 3 unidades para cima — o vértice final fica em
. - Marque alguns pontos simétricos (por exemplo
e ) e o intercepto em para orientar a forma exata.
Você consegue! Com a forma
fica fácil justificar qualquer informação sobre o gráfico durante a prova.