Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu a represente geometricamente usando translação. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é
. - Não há outros termos (deslocamentos ou constantes) adicionados à expressão.
O que se pede: usar o conceito de translação (deslocamento horizontal e/ou vertical de um gráfico) para descrever geometricamente o gráfico de.
Passo 2
O que é translação de um gráfico e como se escreve isso em fórmulas.
- Seja
o gráfico-base. A função
é o gráfico de
traduzido: para
o gráfico desloca-se
unidades para a direita; para
desloca-se
unidades para a esquerda; para
desloca-se
unidades para cima; para
desloca-se
unidades para baixo.
- Demonstração rápida (como verificar): seja
um ponto do gráfico de , isto é . Na função traduzida tomamos . Então
Isso mostra que o ponto
do gráfico de
vai para
no gráfico de
: deslocamento horizontal
e vertical
.
Passo 3
Aplicando isso ao caso
.
- A forma geral de uma translação da cúbica básica é
- Comparando com
vemos que . Ou seja,
- Conclusão imediata: o gráfico de
é exatamente o gráfico da cúbica básica sem deslocamento (translação nula).
Passo 4
Característica do gráfico de
para eu poder desenhar na prova (passo a passo de desenho).
- Domínio: todos os reais; imagem: todos os reais.
- Simetria: função ímpar, pois
. Isso significa simetria em relação à origem. - Derivadas (intuição de inclinação e curvatura):
-
para todo , com : a função é crescente em toda parte, com tangente horizontal em . -
muda de sinal em : ponto de inflexão em .
-
- Pontos fáceis para traçar a curva (faça uma tabela e ligue suavemente):
- Como desenhar na prova sem calculadora:
- Marque o ponto de inflexão
. - Marque pontos
e próximos à origem para ver a inclinação pequena perto de . - Marque pontos
e para mostrar o crescimento rápido para |x| maiores. - Desenhe uma curva que passa por esses pontos, é crescente, com mudança de concavidade em
(para côncava para baixo; para côncava para cima) e simétrica ímpar em relação à origem.
- Marque o ponto de inflexão
Passo 5
Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia de translação): se fosse dada a função
, isto corresponderia a
e
. Nesse caso pegaria o gráfico de
e o deslocaria 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima. No nosso exercício, como
e
, nenhuma destas translações acontece.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico da cúbica básica
sem translação, isto é,
.