Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3} e pede que eu a represente geometricamente usando translação. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é f(x)=x^{3}.
  • Não há outros termos (deslocamentos ou constantes) adicionados à expressão.
    O que se pede: usar o conceito de translação (deslocamento horizontal e/ou vertical de um gráfico) para descrever geometricamente o gráfico de f.

Passo 2

O que é translação de um gráfico e como se escreve isso em fórmulas.
  • Seja g(x) o gráfico-base. A função
y=g(x-h)+k
é o gráfico de g traduzido: para h>0 o gráfico desloca-se h unidades para a direita; para h<0 desloca-se |h| unidades para a esquerda; para k>0 desloca-se k unidades para cima; para k<0 desloca-se |k| unidades para baixo.
  • Demonstração rápida (como verificar): seja (x_0,y_0) um ponto do gráfico de y=g(x), isto é y_0=g(x_0). Na função traduzida y=g(x-h)+k tomamos x=x_0+h. Então
y = g((x_0+h)-h)+k = g(x_0)+k = y_0+k.
Isso mostra que o ponto (x_0,y_0) do gráfico de g vai para (x_0+h,y_0+k) no gráfico de g(x-h)+k: deslocamento horizontal h e vertical k.

Passo 3

Aplicando isso ao caso f(x)=x^{3}.
  • A forma geral de uma translação da cúbica básica é
y=(x-h)^{3}+k.
  • Comparando com f(x)=x^{3} vemos que f(x)=(x-0)^{3}+0. Ou seja,
h=0,\qquad k=0.
  • Conclusão imediata: o gráfico de f é exatamente o gráfico da cúbica básica y=x^{3} sem deslocamento (translação nula).

Passo 4

Característica do gráfico de y=x^{3} para eu poder desenhar na prova (passo a passo de desenho).
  • Domínio: todos os reais; imagem: todos os reais.
  • Simetria: função ímpar, pois f(-x)=-f(x). Isso significa simetria em relação à origem.
  • Derivadas (intuição de inclinação e curvatura): f'(x)=3x^{2}\quad\text{e}\quad f''(x)=6x.
    • f'(x)\ge0 para todo x, com f'(0)=0: a função é crescente em toda parte, com tangente horizontal em x=0.
    • f''(x) muda de sinal em x=0: ponto de inflexão em (0,0).
  • Pontos fáceis para traçar a curva (faça uma tabela e ligue suavemente): \begin{array}{c|c} x & f(x)=x^{3}\\hline -2 & -8\\\\ -1 & -1\\\\ 0 & 0\\\\ 1 & 1\\\\ 2 & 8 \end{array}
  • Como desenhar na prova sem calculadora:
    1. Marque o ponto de inflexão (0,0).
    2. Marque pontos (-1,-1) e (1,1) próximos à origem para ver a inclinação pequena perto de 0.
    3. Marque pontos (-2,-8) e (2,8) para mostrar o crescimento rápido para |x| maiores.
    4. Desenhe uma curva que passa por esses pontos, é crescente, com mudança de concavidade em 0 (para x<0 côncava para baixo; para x>0 côncava para cima) e simétrica ímpar em relação à origem.

Passo 5

Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia de translação): se fosse dada a função y=(x-1)^{3}+2, isto corresponderia a h=1 e k=2. Nesse caso pegaria o gráfico de y=x^{3} e o deslocaria 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima. No nosso exercício, como h=0 e k=0, nenhuma destas translações acontece.

Resposta

O gráfico de f é o gráfico da cúbica básica y=x^{3} sem translação, isto é, f(x)=(x-0)^{3}+0.

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